[论文解读] Positive forms on hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|Osaka City University (Osaka City University)|Jan 12, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过引入一个单同态 ${\cal V}_{p,p}$，建立了经典复几何定理的超凯勒类比，该映射将超凯勒流形上的 $\partial$-闭且正的 $(2p,0)$-形式映射为闭且正的 $(n+p,n+p)$-形式，从而实现了超凯勒版本的 Skoda-El Mir 定理与 Sibony 引理。其关键贡献在于在四元数设置下，将正性和闭性性质在极集上实现延拓，相关结果应用于相干层的导出直接像的多项稳定性。

ABSTRACT

Let $(M,I,J,K)$ be a hyperkaehler manifold, $\dim_\R M =4n$. We study positive, Dolbeault-closed $(2p,0)$-forms on $(M,I)$. These forms are quaternionic analogues of the positive $(p,p)$-forms. We construct an injective homomorphism mapping Dolbeault-closed $(2p,0)$-forms to closed $(n+p,n+p)$-forms, and positive $(2p,0)$-forms to positive $(n+p,n+p)$-forms. This construction is used to prove a hyperkaehler version of the classical Skoda-El Mir theorem, which says that a trivial extension of a closed, positive current over a pluripolar set is again closed. We also prove the hyperkaehler version of the Sibony's lemma, showing that a closed, positive $(2p,0)$-form defined outside of a compact complex subvariety $Z\subset (M,I)$, $\codim Z > 2p$ is locally integrable in a neighbourhood of $Z$. These results are used to prove polystability of derived direct images of certain coherent sheaves.

研究动机与目标

• 为超凯勒流形建立复几何中正 $(p,p)$-形式的四元数类比。
• 为在极集上延拓闭且正的当前提供超凯勒版本的 Skoda-El Mir 定理。
• 证明关于在余维数 $>2p$ 的子簇外局部可积的正 $(2p,0)$-形式的超凯勒类比 Sibony 引理。
• 将上述结果应用于超凯勒流形上相干层的导出直接像的多项稳定性。

提出的方法

• 在 $SL(n,\mathbb{H})$-流形上构造一个单同态 ${\cal V}_{p,q}: \Lambda^{p+q,0}_I(M) \to \Lambda^{n+p,n+q}_I(M)$，以关联 $\partial$-闭的 $(2p,0)$-形式与闭的 $(n+p,n+p)$-形式。
• 通过弱正性条件与实性条件定义正 $(2p,0)$-形式：$\eta(x_1, J(\bar{x}_1), \dots, x_p, J(\bar{x}_p)) \geq 0$ 且 $\eta = J(\overline{\eta})$。
• 利用同构 ${\cal R}_{p,p}$ 将四元数形式映射为标准复 $(p,p)$-形式，从而可应用经典复分析工具。
• 通过在逼近形式 $R(\rho_i)$ 上应用斯托克斯公式与极限论证，控制形如 $\int_D \eta \wedge \rho \wedge \Omega^{n-2} \wedge \overline{\Omega}^n$ 的积分。
• 借助经典 Skoda-El Mir 定理，通过 ${\cal R}_{p,p}$ 映射将问题转移至标准复几何。
• 利用 $\eta \wedge R(\rho_i) \wedge \Omega^{n-2}$ 在 $U$ 上定义良好且为正，因其在 $Z$ 附近消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Skoda-El Mir 定理推广至超凯勒设置下，适用于正且 $\partial$-闭的 $(2p,0)$-形式？
• RQ2 在余维数 $>2p$ 的紧复子簇 $Z$ 外定义的闭正 $(2p,0)$-形式是否在 $Z$ 附近局部可积？
• RQ3 如何在超复流形上形式化 $(2p,0)$-形式的正性概念，以类比复 $(p,p)$-形式的正性？
• RQ4 ${\cal V}_{p,p}$ 单同态在关联四元数与复 Hodge 理论结构中起什么作用？
• RQ5 能否通过逼近与积分界证明超凯勒版本的 Sibony 引理？

主要发现

• 单同态 ${\cal V}_{p,p}$ 将 $\partial$-闭且正的 $(2p,0)$-形式映射为闭且正的 $(n+p,n+p)$-形式，同时保持两种性质。
• 超凯勒版本的 Skoda-El Mir 定理成立：在极集上对 $\partial$-闭且正的 $(2p,0)$-形式进行平凡延拓后仍为 $\partial$-闭。
• Sibony 引理在超凯勒设置下成立：在余维数 $>2p$ 的子簇 $Z$ 外定义的闭正 $(2p,0)$-形式在 $Z$ 附近局部可积。
• 对于紧致 $D \subset U \setminus Z$，积分 $\int_D \eta \wedge \Omega^{n-1} \wedge \overline{\Omega}^n$ 是普遍有界的，暗示局部可积性。
• 证明依赖于通过斯托克斯公式表达积分，并证明逼近形式 $R(\rho_i)$ 在边界 $\partial U$ 上的收敛性。
• 上述结果被用于证明某些相干层在超凯勒流形上导出直接像的多项稳定性。