[论文解读] Positive Invariance Lemmas for Control Problems with Convergence to Lyapunov-unstable Sets

Alexander N. Gorban, Ivan Tyukin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2009

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 32被引用 1

一句话总结

本文提出了针对具有不稳定不变集的系统中正不变性、有界性和收敛性的李雅普诺夫型表征，聚焦于一类包含稳定子系统与一维不稳定或临界稳定部分的系统。该文建立了无需输入信息的简洁判据，用于确定导致解有界或有限时间逃逸的初始条件域，为非线性输出调节与自适应控制问题提供了新颖的分析框架，无需依赖收缩率或输入-输出增益假设。

ABSTRACT

We provide Lyapunov-like characterizations of positive invariance, boundedness and convergence of non-trivial solutions for a class of systems with unstable invariant sets. The systems of this class comprise of a stable part coupled with a one-dimensional unstable or critically stable subsystem. Examples of these systems appear in the problems of nonlinear output regulation, parameter estimation and adaptive control. We demonstrate that, for a large class of systems with unstable equilibria and solutions that might escape to infinity in finite time, it is always possible to determine simple criteria for positive invariance and boundedness of the system’s nontrivial solutions. Conversely, it is possible to characterize domains of initial conditions that lead to solutions escaping from the origin. In contrast to other works addressing convergence issues in unstable systems, our results do not rely on the availability of input-output gains or contraction rates that are usually required for the stable compartment.

研究动机与目标

• 解决具有不稳定不变集的控制系统中的收敛性与有界性问题，特别是当解可能在有限时间内逃逸至无穷远时。
• 为具有稳定分量与一维不稳定或临界稳定子系统的系统，发展非平凡解的正不变性与有界性判据。
• 表征导致解从原点逃逸的初始条件集合，提供类似吸引域的分析。
• 为非线性输出调节、参数估计与自适应控制等应用提供框架，其中传统稳定性工具因不稳定平衡点而失效。
• 通过引入一种新颖的、结构最小化的方法，消除对输入-输出增益或收缩率等常见假设的依赖。

提出的方法

• 该方法依赖于构造针对具有稳定子系统与一维不稳定或临界稳定分量的系统结构的李雅普诺夫型函数。
• 提出将系统分解为稳定与不稳定部分，从而分别分析各分量的动力学行为。
• 采用比较原理与微分不等式分析解的行为，特别是逃逸时间与有界性。
• 定义一类不稳定部分为一维的系统，从而可显式表征解轨迹。
• 通过聚焦于系统内在结构及解在不稳定集附近的行为，避免对收缩率或输入-输出增益提出要求。
• 基于不稳定子系统动力学的符号与增长性质，推导出正不变性与有界性的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否表征导致具有不稳定不变集的系统中解在有限时间内逃逸至无穷远的初始条件集合？
• RQ2 在存在不稳定平衡点的情况下，何种条件可确保非平凡解保持有界且正不变？
• RQ3 如何在不依赖通常用于稳定子系统的输入-输出增益或收缩率假设的前提下，建立有界性与不变性判据？
• RQ4 李雅普诺夫型工具在多大程度上可被适配于具有不稳定不变集的系统，以分析收敛性与解的行为？
• RQ5 此类判据在哪些系统类别中——特别是源于输出调节与自适应控制的问题——可被有效应用？

主要发现

• 本文表明，对于包含稳定子系统与一维不稳定或临界稳定部分的广泛系统类，可在无需收缩率或输入-输出增益假设的前提下，推导出正不变性与有界性的简洁判据。
• 提供了导致有限时间逃逸的初始条件域的完整表征，使不稳定系统的精确吸引域分析成为可能。
• 该结果适用于非线性输出调节、参数估计与自适应控制等实际控制问题，其中不稳定平衡点较为常见。
• 该框架即使在系统平衡点为李雅普诺夫不稳定时，也能识别不变集，扩展了经典不变性理论。
• 该方法成功处理了可能在有限时间内发散的解，提供了一套系统化的方法来分析与约束此类行为。
• 由于无需对输入-输出增益或收缩率做任何假设，该方法在不稳定系统分析中的适用范围广于以往方法。