[论文解读] Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文引入了一类正的 $L^p$-有界广义平移算子 $T^t$，即 Dunkl 型平移算子 $\tau^y$ 的球面平均，建立了其有界性，并将其应用于证明基于 $T^t$ 定义的卷积的 Young 不等式。主要贡献在于：对于 $p>2$，$\tau^y$ 在径向函数上的 $L^p$-有界性，以及在 Dunkl 权 $L^p$-空间中建立直接与逆定理，同时证明了 Riesz 位势的有界性。

ABSTRACT

We prove that the spherical mean value of the Dunkl-type generalized translation operator $τ^y$ is a positive $L^p$-bounded generalized translation operator $T^t$. As application, we prove the Young inequality for a convolution defined by $T^t$, the $L^p$-boundedness of $τ^y$ on a radial functions for $p>2$, the $L^p$-boundedness of the Riesz potential for the Dunkl transform and direct and inverse theorems of approximation theory in $L^p$-spaces with the Dunkl weight.

研究动机与目标

• 解决标准 Dunkl 广义平移算子 $\tau^y$ 在一般情况下缺乏 $L^p$-有界性的缺陷。
• 通过 $\tau^y$ 的球面平均构造一个新的广义平移算子 $T^t$，使其既为正算子又具有 $L^p$-有界性。
• 将 $T^t$ 应用于证明基于 $T^t$ 定义的卷积的 Young 不等式，从而推广已有结果。
• 建立 $\tau^y$ 在径向函数上对 $p>2$ 的 $L^p$-有界性，补全此前对 $1\leq p\leq 2$ 的结果。
• 利用基于 $T^t$ 的光滑性模与 $K$-泛函，建立在 Dunkl 权 $L^p$-空间中的直接与逆逼近定理。

提出的方法

• 将算子 $T^t$ 定义为 Dunkl 型广义平移算子 $\tau^y$ 的球面平均，以保证其正性和 $L^p$-有界性。
• 证明 $T^t$ 是一个对 $1 \leq p \leq \infty$ 有界的正 $L^p$-算子，利用 Rösler 及先前工作的性质。
• 构造一个基于 $T^t$ 的卷积，其与 Thangavelu 和 Xu 已知的卷积一致，从而可应用经典调和分析工具。
• 利用 $T^t$ 的 $L^p$-有界性，建立基于 $T^t$ 定义的卷积的 Young 不等式。
• 利用 $T^t$ 的有界性，证明 $\tau^y$ 在径向函数上对 $p>2$ 的 $L^p$-有界性，扩展先前结果。
• 利用 $T^t$ 定义等价的光滑性模与 $K$-泛函，从而在加权 $L^p$-空间中实现直接与逆逼近定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 Dunkl 型广义平移算子 $\tau^y$ 的球面平均构造出一个正的 $L^p$-有界算子 $T^t$？
• RQ2 $T^t$ 是否允许证明基于 $T^t$ 定义的卷积的 Young 不等式？
• RQ3 广义平移算子 $\tau^y$ 是否在 $p>2$ 时对径向函数具有 $L^p$-有界性？
• RQ4 $T^t$ 是否可用于建立在 Dunkl 权 $L^p$-空间中光滑性模与 $K$-泛函的等价性？
• RQ5 基于 $T^t$ 的卷积对 Dunkl 设置下 Riesz 位势的有界性有何影响？

主要发现

• 将 $\tau^y$ 的球面平均记为 $T^t$，其为对 $1 \leq p \leq \infty$ 的正 $L^p$-有界算子，解决了 Dunkl 调和分析中的一个关键空白。
• 基于 $T^t$ 定义的卷积满足 Young 不等式，为 Dunkl 设置下的 $L^p$-理论提供了基础工具。
• $\tau^y$ 在径向函数上对 $p>2$ 具有 $L^p$-有界性，完整覆盖了所有 $p \geq 1$ 的有界性图景。
• 与 Dunkl 变换相关的 Riesz 位势具有 $L^p$-有界性，其新证明基于 $T^t$ 的 $L^p$-有界性。
• 在 Dunkl 权 $L^p$-空间中，基于 $T^t$ 定义的光滑性模与 $K$-泛函彼此等价，从而支持直接与逆逼近定理的建立。
• 在 Dunkl 权 $L^p$-空间中建立了逼近理论的逆定理，表明在适当条件下 $K$-泛函与光滑性模等价。