[论文解读] Positive mass theorems for asymptotically hyperbolic Riemannian manifolds with boundary

Piotr T. Chruściel, Gregory J. Galloway|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文建立了在维度 3 ≤ n ≤ 7 下，具有紧致边界的渐近双曲及渐近局部双曲黎曼流形的正质量定理，证明在标量曲率与边界平均曲率边界条件下，每个球面对 conformal 无穷远分量的能量-动量向量为未来类时。该结果扩展了先前工作，消除了对旋结构的依赖，并通过剪切-粘贴与形变技术推广至非单连通及多端流形。

ABSTRACT

We prove positive mass theorems for asymptotically hyperbolic and asymptotically locally hyperbolic Riemannian manifolds with black-hole-type boundaries.

研究动机与目标

• 将正质量定理推广至具有紧致边界和多个端点的渐近双曲及渐近局部双曲流形。
• 在先前针对此类流形的正质量定理中，消除对旋结构的假设。
• 确立在标量曲率 R(h) ≥ −n(n−1) 与边界平均曲率 H ≤ n−1 条件下，每个球面对 conformal 无穷远分量处的能量-动量向量为未来类时。
• 将结果扩展至具有非单连通 conformal 无穷远的流形，以及涉及具有乘积拓扑的 ALH 流形的连通和。

提出的方法

• 使用共形紧化分析无穷远处的渐近行为，引入在 conformal 无穷远处消失的共形因子 Ω。
• 通过 Ω 的等值面截断渐近端，生成具有受控平均曲率的新边界，从而满足边界条件。
• 应用 [2] 和 [4] 中的形变技术，构造具有常负质量主函数和下界标量曲率的新度量。
• 使用 Maskit 粘贴过程对流形进行加倍，构造满足主导能量条件的广义相对论初始数据集。
• 将双曲端嵌入闵可夫斯基时空，并在大球体外将其平坦化，从而生成具有平坦外部区域的紧致初始数据集。
• 应用 [8] 中的定理 1.2，当能量-动量向量为类空或过去类时，导出矛盾，从而证明 m 的未来类时性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有紧致边界和多个端点的渐近双曲流形的能量-动量向量为未来类时？
• RQ2 正质量定理能否推广至具有边界和球面对 conformal 无穷远的非旋流形？
• RQ3 平均曲率界 H ≤ n−1 对于渐近双曲流形中质量正性是否最优？
• RQ4 在保持正质量结果的前提下，能否弱化对流形结构的拓扑假设（如乘积拓扑）？
• RQ5 共形边界与边界平均曲率在决定能量-动量向量的因果性质中起何种作用？

主要发现

• 对于满足 R(h) ≥ −n(n−1) 与 H ≤ n−1 的共形紧致、渐近局部双曲流形，其每个球面对共形边界无穷远分量的能量-动量向量 m 均为未来类时。
• 条件 H ≤ n−1 是最优的，如 Birmingham-Kottler 度量所示，其负质量情形下 H 超过 n−1。
• 该结果适用于具有多个端点及非单连通共形无穷远的流形，推广了先前仅限于旋流形或乘积拓扑流形的结果。
• 证明依赖于构造一个满足主导能量条件与外部陷阱边界条件的紧致初始数据集，若 m 为类空或过去类时，则导致矛盾。
• 矛盾源于违反 [8] 中定理 1.2 的拓扑结论，该结论要求流形微分同胚于 [0,1]×T^{n−1}，与初始数据集的非连通性矛盾。
• 该结果可推广至闭流形、共形紧致 ALH 流形及具有乘积拓扑 [0,1]×(S^{n−1}/Γ) 的 ALH 流形的连通和，其中 ALH 分量的质量非负。