[论文解读] Positive metric entropy arises in some nondegenerate nearly integrable systems

Dong Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文在3-环面上构造了一个$C^{\infty}$-小的可逆Finsler度量，其与平坦度量任意接近，但测地流表现出正度量熵。通过Maupertuis原理和对偶透镜映射形式化方法对返回映射进行扰动，作者证明了在非退化近可积系统中，正度量熵——表示混沌动力学——出现在KAM环面之外。

ABSTRACT

The celebrated KAM Theory says that if one makes a small perturbation of a non-degenerate completely integrable system, we still see a huge measure of invariant tori with quasi-periodic dynamics in the perturbed system. These invariant tori are known as KAM tori. What happens outside KAM tori draws a lot of attention. In this paper we present a Lagrangian perturbation of the geodesic flow on a flat 3-torus. The perturbation is $C^\infty$ small but the flow has a positive measure of trajectories with positive Lyapunov exponent, namely, the flow has positive metric entropy. From this result we get positive metric entropy outside some KAM tori.

研究动机与目标

• 证明正度量熵可以在非退化近可积哈密顿系统中出现，特别是3-环面上的测地流。
• 构造$\mathbb{T}^3$上平坦度量的$C^{\infty}$-小扰动，使得所得测地流具有正度量熵。
• 表明这种正度量熵出现在KAM环面集合之外，尽管系统是非退化的且扰动极其微小。
• 建立此类混沌行为在阿诺德扩散不发生的情况下仍可能存在的事实，从而将其与其它形式的不稳定性区分开来。

提出的方法

• 通过$C^{\infty}$-小的哈密顿扰动$H_\epsilon$对特定截面$\Gamma_0$上测地流的返回映射进行扰动。
• 应用Maupertuis原理重新参数化哈密顿流，将扰动后的动能哈密顿量$\tilde{H}_\epsilon = -\sqrt{1 - 2H_\epsilon}$转换，以保持轨迹不变，同时便于度量熵分析。
• 利用Burago与Ivanov提出的对偶透镜映射形式化方法，将扰动后的返回映射提升为$\mathbb{T}^3$上全局定义的可逆Finsler度量$\varphi_\epsilon$。
• 确保扰动仅在相空间的紧致区域内支持，从而在3-球$D^3$的边界附近保持欧几里得度量。
• 将对偶透镜映射$\sigma_\epsilon$构造为欧几里得对偶透镜映射$\sigma_0$的辛扰动，使其在扰动支持区域内与扰动后的返回映射相匹配。
• 通过定理7.1将$\sigma_\epsilon$提升为Finsler度量$\varphi_\epsilon$，该定理保证了具有指定对偶透镜映射的可逆Finsler度量的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非退化近可积哈密顿系统中，是否可能通过任意小的$C^{\infty}$-扰动产生正度量熵？
• RQ2 是否可能在平坦的3-环面上构造此类系统，使得混沌动力学（正度量熵）出现在KAM环面之外？
• RQ3 此类系统中正度量熵的存在是否必然意味着阿诺德扩散？
• RQ4 对偶透镜映射形式化方法是否可用于构造$C^{\infty}$-小的平坦度量扰动，从而在测地流中产生正度量熵？
• RQ5 度量熵与近可积系统中不变环面结构之间存在何种关系？

主要发现

• 对每个$\epsilon > 0$，存在一个在$\mathbb{T}^3$上的可逆Finsler度量$\varphi_\epsilon$，其在$C^{\infty}$-拓扑下与欧几里得度量$\epsilon$-接近，且具有正度量熵。
• 与$\varphi_\epsilon$相关的测地流由于在截面$\Gamma_0$上对返回映射的扰动而表现出正度量熵，从而诱导出混沌动力学。
• 正度量熵完全出现在KAM环面集合之外，表明在非退化近可积系统中，非KAM区域仍可出现随机行为。
• 扰动是$C^{\infty}$-小的，且所得度量熵是上半连续的，意味着其为微观但严格为正。
• 所构造的例子不表现出阿诺德扩散，因为对小$\epsilon$，作用变量$\alpha, \beta$在整个相空间中保持一致有界。
• 对偶透镜映射构造确保了所得Finsler度量是可逆的，并且在3-球边界附近与欧几里得度量一致，从而保持了全局结构。