[论文解读] Positive operator measures, generalised imprimitivity theorem, and their applications

Alessandro Toigo|ArXiv.org|May 30, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 42被引用 4

一句话总结

本论文通过广义化实现定理，对协变正算子测度（POMs）进行了全面的数学表征，确立了POMs在群对称性下一致变换的条件。主要贡献在于对阿贝尔群及具有紧致稳定子的群的酉表示或投影酉表示下协变的POMs进行了完整分类，从而在谱测度的局限性之外，实现了对量子力学中相位可观测量、位置-动量联合可观测量以及定位可观测量的严格描述。

ABSTRACT

Given a topological group $G$ and a unitary representation $U$ of $G$, we consider the problem of classifying the positive operator measures which are based on a $G$-homogeneous space $X$ and covariant with respect to the representation $U$. We completely solve the problem in two cases: 1) when $G$ is abelian; 2) when $G$ is not abelian, $X$ has compact stbiliser in $G$ and the representation $U$ is irreducible. We then give an application of the above results to the characterisation of covariant position and momentum observables in quantum mechanics, and to the determination of those covariant position and momentum observables that are jointly measurable.

研究动机与目标

• 解决自伴算子在描述相位等物理可观测量时的局限性。
• 通过表征在群对称性下协变的正算子测度（POMs），将量子测量理论扩展至谱测度之外。
• 基于群作用，特别是阿贝尔群与具有紧致稳定子的群，对POMs提供完整的数学分类。
• 将结果应用于非相对论性与相对论性量子系统中的物理可观测量，如相位、位置与动量。
• 阐明位置与动量可观测量可同时测量的条件，并将其与不确定度原理联系起来。

提出的方法

• 利用广义实现定理，将协变POMs的结构与群的诱导酉表示联系起来。
• 应用抽象调和分析与Plancherel理论，对诱导表示进行对角化，尤其适用于阿贝尔群与紧致稳定子情形。
• 采用对偶群与傅里叶分析技术，对阿贝尔情形下的POMs进行分类，从而通过在对偶群上的测度实现显式参数化。
• 利用诱导表示的结构推导POMs的显式形式，如阿贝尔群情形下的公式(2.11)与投影表示情形下的公式(3.7)。
• 将该框架应用于伽利略群，定义在平移、速度变换与缩放下协变的位置与动量可观测量。
• 通过分析相关概率测度的功能共存性与傅里叶耦合性，建立位置与动量可观测量的联合可测量性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当POMs在群的酉表示下协变时，如何对其进行全面表征？
• RQ2 量子电动力学中相位可观测量的数学结构是什么？它与谱测度有何不同？
• RQ3 在何种条件下位置与动量可观测量可同时测量？这与不确定度原理有何关联？
• RQ4 能否利用具有紧致稳定子的投影酉表示对协变相空间可观测量进行分类？
• RQ5 广义实现定理在诱导表示的对角化与POMs构造中起到何种作用？

主要发现

• 对于阿贝尔群，所有在传递G-空间上协变的POMs均由对偶群上的测度完全表征，如公式(2.11)所示。
• 当稳定子为紧致且表示为不可约投影时，POMs通过Plancherel理论进行分类，得到公式(3.7)中的紧凑表达式。
• 电磁场的相位可观测量被严格描述为非谱POM，解决了其无法由自伴算子表示的长期难题。
• 非相对论性量子力学中的位置与动量可观测量被完全表征为在同时间伽利略群下的协变可观测量，其结构由测度ρ与ν决定。
• 位置与动量可观测量的联合可测量性等价于其关联概率测度构成傅里叶对，如命题5.2.2所示。
• 目前尚不清楚是否存在一个非协变相空间可观测量的联合可观测量，因为在当前框架下尚未发现此类例子。