[论文解读] Positive scalar curvature, higher rho invariants and localization algebras

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 7

一句话总结

该论文通过使用局部化代数定义并计算边界狄拉克算子的高阶 rho 不变量，建立了具有边界的自旋流形上狄拉克算子的高阶指标类与边界狄拉克算子的高阶 rho 不变量之间的精确联系。主要结果表明，流形上高阶指标类的 $K$-理论边界等于边界上的高阶 rho 不变量，扩展了 Piazza 和 Schick 的工作，并为通过非交换拓扑研究正 scalar 曲率障碍提供了新框架。

ABSTRACT

In this paper, we use localization algebras to study higher rho invariants of closed spin manifolds with positive scalar curvature metrics. The higher rho invariant is a secondary invariant and is closely related to positive scalar curvature problems. The main result of the paper connects the higher index of the Dirac operator on a spin manifold with boundary to the higher rho invariant of the Dirac operator on the boundary, where the boundary is endowed with a positive scalar curvature metric. Our result extends a theorem of Piazza and Schick.

研究动机与目标

• 通过局部化代数将阿蒂yah-Patodi-Singer 的高阶指标理论推广至具有边界的流形。
• 在正 scalar 曲率存在的情况下，定义并计算边界狄拉克算子的高阶 rho 不变量。
• 建立流形上高阶指标类与边界上高阶 rho 不变量之间的精确关系。
• 为研究具有边界的流形上正 scalar 曲率度量的障碍提供 $K$-理论框架。

提出的方法

• 使用与离散群 $\Gamma$ 在完备度量空间 $X$ 上的适当、余紧等距作用相关的局部化代数 $C^{ullet}_{L,0}(X)^{lat}$ 和 $C^{ullet}_L(X)^{lat}$。
• 将 $K$-理论中的六项正合列应用于短正合列的 $C^*$-代数：$0 \to C^{ullet}_{L,0}(X)^{\Gamma} \to C^{ullet}_L(X)^{\Gamma} \to C^{ullet}(X)^{\Gamma} \to 0$。
• 通过构造 $K$-理论中的典范边界映射 $\partial_i$，将 $K_*(D^*(X)^\Gamma)$ 与 $K_{*-1}(C^{ullet}_{L,0}(X)^\Gamma)$ 联系起来。
• 将高阶 rho 不变量 $\rho(D_{\partial M}, h)$ 定义为 $K_{m-1}(C^\bullet_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ 中的一个元素。
• 通过 Mayer-Vietoris 和五引理论证，建立同构 $\alpha_i: K_i(D^*(X)^\Gamma) \to K_{i-1}(C^\bullet_{L,0}(X)^\Gamma)$ 和 $\beta_i: K_i(D^*(X)^\Gamma / C^\bullet(X)^\Gamma) \to K_{i-1}(C^\bullet_L(X)^\Gamma)$。
• 利用 $K_*(C^\bullet_L(X)^\Gamma)$ 与等变 $K$-同调 $K_*^\Gamma(X)$ 的自然同构，从几何角度解释高阶 rho 不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有正 scalar 曲率的自旋流形边界上的高阶 rho 不变量与全流形上狄拉克算子的高阶指标类联系起来？
• RQ2 局部化代数能否在群作用和正 scalar 曲率存在的情况下，提供一个稳健的框架来定义和计算高阶 rho 不变量？
• RQ3 是否存在从具有边界的流形上高阶指标类到边界上高阶 rho 不变量的典范边界映射？
• RQ4 高阶 rho 不变量是否以 $K$-理论设定捕捉了与高阶 eta 不变量相同的正 scalar 曲率障碍？
• RQ5 能否利用 $K_*(D^*(X)^\Gamma)$ 与 $K_{*-1}(C^\bullet_{L,0}(X)^\Gamma)$ 之间的同构，定义一个与现有定义一致的典范高阶 rho 不变量？

主要发现

• 具有边界的自旋流形 $M$ 上狄拉克算子的高阶指标类 $\mathrm{Ind}(D_M)$ 通过典范边界映射映射到 $K_{m-1}(C^\bullet_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ 中的高阶 rho 不变量 $\rho(D_{\partial M}, h)$。
• 映射 $\partial_1: K_1(C^\bullet_L(M)^\Gamma) \to K_0(C^\bullet_{L,0}(M)^\Gamma)$ 将高阶指标类的边界与边界上的高阶 rho 不变量相联系。
• $K$-理论同构 $\alpha_1: K_1(D^*(\partial M)^\Gamma) \to K_0(C^\bullet_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ 提供了高阶 rho 不变量的 $K$-理论实现。
• 高阶 rho 不变量 $\rho(D_{\partial M}, h)$ 通过同构 $\alpha_i$ 与 Higson 和 Roe [18, 定义 7.1] 的定义等价。
• 该构造是自然的，并与 $K$-理论中的六项正合列保持交换，确保了框架内部的一致性。
• 该结果通过将边界关系推广至群作用和局部化代数设定，推广了 Piazza 和 Schick 的定理 1.17。