[论文解读] Positive scalar curvature on foliations

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过引入绝热极限方法和几乎等距叶状的子狄拉克算子，将利赫尼茨基和希钦关于正标量曲率的定理推广到叶状的旋量流形上。证明了若一个紧致旋量流形 admits 一个具有正叶状标量曲率的叶状结构，则其 $\widehat{\mathcal{A}}$-示性类为零，从而推出任意环面均无法具有此类叶状结构——这推广了经典正标量曲率度量不存在的结果。

ABSTRACT

We generalize classical theorems due to Lichnerowicz and Hitchin on the existence of Riemannian metrics of positive scalar curvature on spin manifolds to the case of foliated spin manifolds. As a consequence, we show that there is no foliation of positive leafwise scalar curvature on any torus, which generalizes the famous theorem of Schoen-Yau and Gromov-Lawson on the non-existence of metrics of positive scalar curvature on torus to the case of foliations. Moreover, our method, which is partly inspired by the analytic localization techniques of Bismut-Lebeau, also applies to give a new proof of the celebrated Connes vanishing theorem without using noncommutative geometry.

研究动机与目标

• 将经典关于旋量流形上正标量曲率度量的结果推广至叶状流形的设定。
• 解决一个开放问题：叶状结构上正叶状标量曲率是否意味着全流形上存在正标量曲率。
• 在不使用非交换几何的前提下，为康奈斯的消去定理提供一种新的分析性证明。
• 在旋量流形的可积子丛上，建立正叶状标量曲率条件下的 $\widehat{\mathcal{A}}$-示性类消去结果。

提出的方法

• 利用绝热极限技术，在叶状流形上构造一个几乎等距的纤维化结构。
• 引入与旋量可积子丛及其在康奈斯纤维化上的扭曲版本相关的子狄拉克算子。
• 应用阿蒂yah-Singer指标定理，计算零阶椭圆伪微分算子的模 2 指标。
• 采用受比什梅勒鲍启发的分析局部化技术，控制子狄拉克算子的核。
• 构造一族算子 $\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$，其核的维数模 2 可计算 $\alpha$-不变量。
• 通过大参数 $R, \beta, \varepsilon$ 下核维数的消失，推导出 $\alpha$-不变量与 $\widehat{\mathcal{A}}$-示性类的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 若一个紧致旋量流形 $M$ 的叶状结构 $F$ 上存在正叶状标量曲率度量，是否意味着全流形的 $\widehat{\mathcal{A}}$-示性类为零？
• RQ2 能否将环面上正标量曲率的经典非存在性结果推广至叶状结构的情形？
• RQ3 是否可能在不依赖非交换几何或循环上同调的前提下，证明叶状结构的康奈斯消去定理？
• RQ4 在旋量流形的可积子丛上，正叶状标量曲率存在的拓扑障碍是什么？
• RQ5 此处使用的指标理论方法能否推广至包含法丛的高阶庞特里亚金类？

主要发现

• 若紧致旋量流形 $M$ 允许一个具有正叶状标量曲率的叶状结构 $F$，则 $\widehat{\mathcal{A}}(M) = 0$，这推广了利赫尼茨基与希钦的定理。
• 任意环面 $T^n$ 均不存在正叶状标量曲率叶状结构，推广了 Schoen-Yau 与 Gromov-Lawson 的非存在性结果。
• 在不使用非交换几何或循环上同调的前提下，为康奈斯消去定理建立了新的分析性证明。
• 对于大参数，特定零阶椭圆伪微分算子 $\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$ 的模 2 指标消失，从而推出 $\alpha(M) = 0$。
• 对任意整数 $k \geq 0$，在正叶状标量曲率条件下，有 $\left\langle \widehat{A}(F) p(TM/F) e(TM/F)^k, [M] \right\rangle = 0$。
• 特别地，$\left\langle \widehat{A}(F) e(TM/F), [M] \right\rangle = 0$，且当 $\dim M = 6$，$\operatorname{rk}(F) = 4$ 时，有 $\left\langle e(TM/F)^3, [M] \right\rangle = 0$，这意味着 $\mathbb{C}P^3$ 上不存在正叶状标量曲率的余维二叶状结构。