[论文解读] Positive Semi-Definite Hankel Tensors

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications被引用 1

一句话总结

本文建立了Hankel张量的三个继承性质：若一个低阶Hankel张量是半正定、正定、半负定、负定或SOS（平方和）的，则其高阶对应张量——由同一向量生成且阶数为低阶的倍数——也具有相同类型。高阶张量的极值H-特征值被其低阶张量的极值H-特征值按常数缩放所界定，从而实现了强Hankel张量的显式平方和分解，并将张量的特征值与关联Hankel矩阵的特征值联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we show that if a lower-order Hankel tensor is positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS), then its associated higher-order Hankel tensor with the same generating vector, where the higher order is a multiple of the lower order, is also positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS, respectively). Furthermore, in this case, the extremal H-eigenvalues of the higher order tensor are bounded by the extremal H-eigenvalues of the lower order tensor, multiplied with some constants. Based on this inheritance property, we give a concrete sum-of-squares decomposition for each strong Hankel tensor. Then we prove the second inheritance property of Hankel tensors, i.e., a Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative) H-eigenvalues if the associated Hankel matrix of that Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative, respectively) eigenvalues. In this case, the extremal H-eigenvalues of the Hankel tensor are also bounded by the extremal eigenvalues of the associated Hankel matrix, multiplied with some constants. The third inheritance property of Hankel tensors is raised as a conjecture.

研究动机与目标

• 研究Hankel张量的正定性与平方和（SOS）性质如何从低阶向高阶传播。
• 基于其低阶对应张量，建立高阶Hankel张量极值H-特征值的界。
• 利用继承性质，为强Hankel张量提供构造性平方和分解。
• 探讨Hankel张量的H-特征值与其关联Hankel矩阵的特征值之间的联系。
• 提出关于Hankel张量第三种继承性质的猜想，以供进一步研究。

提出的方法

• 本文从给定低阶Hankel张量的生成向量构造高阶Hankel张量，其中高阶为低阶的倍数。
• 证明了低阶张量的半正定、正定或SOS性质可被高阶张量继承。
• 推导出高阶张量极值H-特征值的显式界，作为低阶张量极值H-特征值的缩放函数。
• 基于第一种继承性质，提出强Hankel张量的平方和分解。
• 建立第二种继承性质：若关联Hankel矩阵无负（或非正、正、非负）特征值，则Hankel张量继承相应的H-特征值符号性质。
• 提出第三种继承性质的猜想，暗示Hankel张量理论中更广泛的结构性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个半正定的低阶Hankel张量是否意味着其使用相同生成向量、阶数为原阶数倍数的高阶对应张量也是半正定的？
• RQ2 高阶Hankel张量的极值H-特征值能否通过低阶张量的极值H-特征值按显式常数缩放来界定？
• RQ3 当阶数为原阶数的倍数时，Hankel张量的正定性或SOS性质是否可向高阶张量传播？
• RQ4 Hankel张量的特征值符号模式与其关联Hankel矩阵的特征值符号模式之间是否存在直接关系？
• RQ5 何种结构性质控制Hankel张量谱特征的继承？第三种继承性质能否被正式确立？

主要发现

• 一个低阶半正定Hankel张量可确保其高阶对应张量（阶数为原阶数的倍数）也是半正定的。
• 高阶Hankel张量的极值H-特征值被其低阶张量的极值H-特征值按特定常数缩放所界定。
• 基于第一种继承性质，为强Hankel张量提供了构造性平方和分解。
• 若关联Hankel矩阵无负（或非正、正、非负）特征值，则Hankel张量继承相应的H-特征值符号性质。
• Hankel张量的极值H-特征值被关联Hankel矩阵的极值特征值按常数缩放所界定。
• 提出了关于Hankel张量第三种继承性质的猜想，暗示张量谱理论中更深层次的结构性联系。