[论文解读] Positive semiclassical states for a fractional Schrödinger-Poisson system

Edwin G. Murcia, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 27

一句话总结

本文通过分析当 $\varepsilon \to 0^+$ 时的半经典极限，建立了在 $\mathbb{R}^N$ 中分数阶薛定谔-泊松系统存在多个正的半经典态。利用变分方法和 Ljusternick-Schnirelmann 族论，证明了正解的数量下界由势能 $V(x)$ 的极小值集的族数决定，前提是对于非线性项和分数阶参数满足适当条件。

ABSTRACT

We consider a fractional Schrödinger-Poisson system in the whole space $\mathbb R^{N}$ in presence of a positive potential and depending on a small positive parameter $\varepsilon.$ We show that, for suitably small $\varepsilon$ (i.e. in the "semiclassical limit") the number of positive solutions is estimated below by the Ljusternick-Schnirelmann category of the set of minima of the potential.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{R}^N$ 中一个双重奇异摄动的分数阶薛定谔-泊松系统存在多个正解的证明。
• 分析当 $\varepsilon \to 0^+$ 时的半经典极限，对应于从量子力学向经典力学的过渡。
• 通过 Ljusternick-Schnirelmann 族数将正解的数量与势能极小值集的拓扑复杂性联系起来。
• 将变分方法扩展至无界区域中的分数阶微分算子和非局部方程。

提出的方法

• 建立一个包含 $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s w + V(x)w + \psi w = f(w)$ 和 $\varepsilon^{\theta}(-\Delta)^{\alpha/2}\psi = \gamma_\alpha w^2$ 的分数阶薛定谔-泊松系统。
• 在 Nehari 流形 $\mathcal{N}_\varepsilon$ 上应用变分方法，以寻找能量泛函 $I_\varepsilon$ 的临界点。
• 利用重心映射 $\beta_\varepsilon(u) = \int \chi(\varepsilon x) u^2 / \int u^2$ 跟踪解在势能极小值附近的集中现象。
• 在能量区间 $ (m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon)) $ 内应用 Palais-Smale 条件，以保证紧致性和收敛性。
• 依赖同伦等价与形变论证，将势能极小值集 $M$ 的族数与临界点数量联系起来。
• 应用 Ljusternick-Schnirelmann 理论，得出临界点数量至少为 $\operatorname{cat}(M)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半经典极限下，分数阶薛定谔-泊松系统存在多少个正解？
• RQ2 能否利用势能极小值集的拓扑不变量来估计正解的数量？
• RQ3 分数阶拉普拉斯算子在解的集中与多重性中起什么作用？
• RQ4 参数 $\varepsilon$、$s$、$\alpha$ 和 $\theta$ 如何影响解的存在性与数量？
• RQ5 在相关能量范围内，Palais-Smale 条件在何种条件下成立？

主要发现

• 分数阶薛定谔-泊松系统的正解数量下界由势能 $V(x)$ 的极小值集的 Ljusternick-Schnirelmann 族数决定。
• 当 $\varepsilon > 0$ 足够小时，系统至少存在 $\operatorname{cat}(M)$ 个正解，其中 $M$ 是 $V$ 的全局极小值集。
• 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，解在 $V$ 的极小值附近集中，且重心映射 $\beta_\varepsilon$ 一致收敛于极小值集 $M$。
• 当 $\varepsilon$ 较小时，Palais-Smale 条件在能量区间 $ (m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon)) $ 内成立，确保了 Palais-Smale 序列的收敛性。
• 当 $M$ 有界且不可缩时，由于 Nehari 流形中 $\Phi_\varepsilon(M)$ 的像不可缩，会存在一个额外的解，超出族数估计。
• 本结果将先前针对局部薛定谔-泊松系统得到的多重性结果推广至非局部（分数阶）情形，同时保持了拓扑多重性结构。