[论文解读] Positive solution of Hilfer fractional differential equations with integral boundary conditions

Mohammed A. Malahi, Mohammed S. ‬Abdo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 5

一句话总结

本文通过不动点定理和上下解技术，建立了具有积分边界条件的一阶Hilfer分数阶微分方程正解的存在性与唯一性。利用Schauder不动点定理证明存在性，利用Banach压缩映射原理证明唯一性，且所用条件不需非线性项的单调性。

ABSTRACT

In this article, we have interested the study of the existence and uniqueness of positive solutions of the first-order nonlinear Hilfer fractional differential equation \begin{equation*} D_{0^{+}}^{α,β}y(t)=f(t,y(t)), ext{ }0

研究动机与目标

• 研究具有积分边界条件的一阶Hilfer分数阶微分方程正解的存在性与唯一性。
• 通过考虑可插值于Riemann-Liouville与Caputo导数之间的广义Hilfer导数，拓展现有分数阶微分方程的研究结果。
• 在非线性项不施加单调性条件的前提下，建立存在性准则。
• 在加权连续函数空间中，提供正解存在性与唯一性的充分条件。
• 通过一个数值例子（将在修订稿中补充）展示理论结果的有效性。

提出的方法

• 利用Hilfer导数的定义和Riemann-Liouville分数阶积分，将Hilfer分数阶微分方程转化为等价的积分方程。
• 在加权空间 $ C_{1-\beta} [0,1] $ 中应用Schauder不动点定理，证明至少存在一个正解。
• 利用上下解方法构造非线性项 $ f(t,y(t)) $ 的控制函数，确保其正性和有界性。
• 通过验证Lipschitz型条件且压缩常数小于1，应用Banach压缩映射原理建立唯一性。
• 定义解算子 $ \Delta $，并证明在条件 $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $ 下，其为压缩映射。
• 使用加权范数 $ \|y\|_{C_{1-\gamma}} = \max_{t \in [0,1]} |t^{1-\gamma} y(t)| $，以确保在连续函数Banach空间中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一阶Hilfer分数阶微分方程具有积分边界条件时，其正解在何种条件下存在？
• RQ2 如何在不假设非线性项单调性的前提下，证明正解的存在性？
• RQ3 在Hilfer分数阶微分方程的背景下，何种条件可保证正解的唯一性？
• RQ4 广义Hilfer导数（插值于Riemann-Liouville与Caputo导数之间）相较于特殊情形，如何影响存在性与唯一性分析？
• RQ5 上下解方法能否有效应用于具有积分边界条件的Hilfer型分数阶问题？

主要发现

• 在加权空间 $ C_{1-\gamma}[0,1] $ 中，该问题至少存在一个正解，其存在性由Schauder不动点定理建立。
• 存在性结果在不施加非线性项 $ f(t,y) $ 单调性假设的前提下获得，其依赖于上下解的构造。
• 若Lipschitz常数 $ L_f $ 满足 $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $，则存在唯一正解，确保解算子为压缩映射。
• 解以包含Riemann-Liouville分数阶积分和参数 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ 的积分形式表示，该参数控制奇异性行为。
• 上解 $ \overline{y}(t) $ 构造为 $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_2}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $，下解 $ \underline{y}(t) $ 构造为 $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_1}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $，二者均满足边界条件与微分方程。
• 分析表明，Hilfer导数框架可统一处理Riemann-Liouville与Caputo情形，其中 $ \beta = 0 $ 和 $ \beta = 1 $ 分别对应于各自极限情况。