[论文解读] Positive solutions to some asymptotically linear fractional Schrodinger equations

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过变分法和Palais-Smale序列的新表示方法，证明了在 $ℝ^N$（$N>2s$）上，具有渐近线性非线性的分数阶薛定谔方程存在正解，其中 $s\in(0,1)$。关键贡献在于，在势能 $V(x)$ 和非线性项 $f(u)$ 满足适当条件时，能量泛函存在临界点，从而保证至少存在一个正解，尽管不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件。

ABSTRACT

This paper is devoted to prove the existence and nonexistence of positive solutions for a class of fractional Schrodinger equation in RN of the We apply a new methods to obtain the existence of positive solutions when f(u) is asymptotically linear with respect to u at infinity.

研究动机与目标

• 在 $ℝ^N$ 上建立分数阶薛定谔方程存在正解，其中 $N>2s$ 且 $s\in(0,1)$，且非线性项为渐近线性。
• 解决 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中嵌入非紧致性以及问题缺乏对称性所带来的挑战。
• 克服Ambrosetti-Rabinowitz条件的失效，该条件在变分法中常被使用，但对渐近线性非线性项不成立。
• 提出Palais-Smale序列的新表示定理，识别出唯一导致紧致性障碍的是无穷远处极限问题的解。
• 证明能量泛函的下确界不是临界值，且在附加条件下，临界点存在，从而得到正解。

提出的方法

• 研究在空间 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 上采用变分法，使用能量泛函 $\mathcal{I}(u) = \frac{1}{2}\int |(-\Delta)^{s/2}u|^2 dx + \frac{1}{2}\int V(x)|u|^2 dx - \int F(u) dx$。
• 推导出Palais-Smale序列的新表示定理，表明唯一导致紧致性障碍的是无穷远处极限方程的解：$(-\Delta)^s u + V_\infty u = f(u)$。
• 应用Pohozaev恒等式分析解的行为，并推导非解存在的必要条件。
• 结合变形引理，使用链式定理证明在条件 $V_5$ 下能量泛函存在临界点。
• 证明依赖于构造合适的形变收缩 $Q = \Gamma(\overline{B}_{\bar{\rho}}(0))$ 和集合 $S = \{u \in \mathcal{P} : \beta(u) = 0\}$，并证明它们在链式定理意义下链接。
• 分析包括对势能项 $V(x) - V_\infty$ 的精细估计，以及利用缩放方法控制重缩放函数的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，具有渐近线性非线性项的分数阶薛定谔方程在 $ℝ^N$ 上存在正解？
• RQ2 当非线性项为渐近线性且Ambrosetti-Rabinowitz条件不成立时，如何克服 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 嵌入的非紧致性？
• RQ3 无穷远处极限问题在阻碍Palais-Smale序列紧致性中起什么作用？
• RQ4 当非线性项为渐近线性且不满足(AR)条件时，能量泛函的下确界是否可能为临界值？
• RQ5 势能 $V(x)$ 需要满足哪些几何与分析条件，以保证正解的存在？

主要发现

• 下确界 $p = \inf\{\mathcal{I}(u) : u \in \mathcal{P}\}$ 不是能量泛函 $\mathcal{I}$ 的临界值，因此无法实现。
• 在附加条件 $(V_5)$ 下，即 $\frac{(N-2s)\|w\|^2_{H^s}}{A\|w\|^2_{L^2}} \leq 2^{2s/N}$，其中 $A = \max_x \langle \nabla V(x), x \rangle$，问题在 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中至少存在一个正解。
• 能量泛函的临界水平 $d$ 满足 $m_\infty < d < 2m_\infty$，其中 $m_\infty$ 是无穷远处极限问题能量的下确界。
• 在区间 $(m_\infty, 2m_\infty)$ 内，Palais-Smale条件 $(PS)_d$ 成立，通过链式定理保证了临界点的存在。
• 在给定的 $f(u)$ 假设下，所得到的解为正解，包括 $f(t)/t \to 1$ 当 $t \to \infty$ 且 $f(t)/t \to 0$ 当 $t \to 0^+$，这由最大值原理保证。
• 分析表明，Palais-Smale序列中唯一的紧致性障碍是无穷远处极限方程存在非零解，该障碍通过缩放和范数估计得到严格控制。