[论文解读] Positive spectrahedrons: Geometric properties, Invariance principles and Pseudorandom generators

Srinivasan Arunachalam, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文提出了针对布尔立方体上宽度为 $M$ 的正定谱体交集的显式伪随机生成器（PRGs），实现了种子长度 $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$。通过广义林德伯格方法建立了一项新颖的不变性原理，并推导出噪声敏感性与高斯表面积等几何性质，从而在学习理论、不均匀性理论以及结构化多项式阈值函数的PRGs中实现应用。

ABSTRACT

In a recent work, O'Donnell, Servedio and Tan (STOC 2019) gave explicit pseudorandom generators (PRGs) for arbitrary $m$-facet polytopes in $n$ variables with seed length poly-logarithmic in $m,n$, concluding a sequence of works in the last decade, that was started by Diakonikolas, Gopalan, Jaiswal, Servedio, Viola (SICOMP 2010) and Meka, Zuckerman (SICOMP 2013) for fooling linear and polynomial threshold functions, respectively. In this work, we consider a natural extension of PRGs for intersections of positive spectrahedrons. A positive spectrahedron is a Boolean function $f(x)=[x_1A^1+\cdots +x_nA^n \preceq B]$ where the $A^i$s are $k imes k$ positive semidefinite matrices. We construct explicit PRGs that $\delta$-fool regular width-$M$ positive spectrahedrons (i.e., when none of the $A^i$s are dominant) over the Boolean space with seed length $ extsf{poly}(\log k,\log n, M, 1/\delta)$. Our main technical contributions are the following: We first prove an invariance principle for positive spectrahedrons via the well-known Lindeberg method. As far as we are aware such a generalization of the Lindeberg method was unknown. Second, we prove various geometric properties of positive spectrahedrons such as their noise sensitivity, Gaussian surface area and a Littlewood-Offord theorem for positive spectrahedrons. Using these results, we give applications for constructing PRGs for positive spectrahedrons, learning theory, discrepancy sets for positive spectrahedrons (over the Boolean cube) and PRGs for intersections of structured polynomial threshold functions.

研究动机与目标

• 将伪随机生成器构造从多面体扩展到由半定约束定义的更广泛类别的布尔函数——正定谱体的交集。
• 通过广义林德伯格方法的创新应用，为正定谱体开发一个通用的不变性原理。
• 刻画正定谱体特有的关键几何性质——噪声敏感性、高斯表面积以及一个类似Littlewood-Offord的定理。
• 将这些结果应用于构造结构化多项式阈值函数交集的PRGs，并在布尔立方体上设计不均匀性集合。

提出的方法

• 通过广义林德伯格方法证明正定谱体的不变性原理，将经典工具扩展至矩阵值函数。
• 利用矩阵集中与几何技术分析正定谱体的噪声敏感性与高斯表面积。
• 在布尔输入下，为正定矩阵的线性组合建立一个类似Littlewood-Offord的定理。
• 利用推导出的几何与概率性质，为正则宽度-$M$正定谱体构造显式PRGs，其种子长度为 $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$。
• 将不变性原理与几何界应用于推导结构化多项式阈值函数交集的PRGs。
• 利用正定谱体的谱结构，确保在 $\mathsf{δ}$-欺骗条件下的伪随机性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义林德伯格方法为正定谱体建立不变性原理？
• RQ2 正定谱体的噪声敏感性与高斯表面积是什么？它们如何与伪随机性相关？
• RQ3 能否在布尔立方体上为正定矩阵的线性组合形式化一个Littlewood-Offord定理？
• RQ4 为使PRG能够 $\mathsf{δ}$-欺骗正则宽度-$M$正定谱体，所需的最小种子长度是多少？
• RQ5 如何利用正定谱体的几何与概率性质，构造结构化多项式阈值函数交集的PRGs？

主要发现

• 通过广义林德伯格方法的创新应用，首次建立了正定谱体的不变性原理，此前该结果尚未为人所知。
• 正定谱体的噪声敏感性以宽度和维度为参数进行有界，从而支持伪随机性分析。
• 为正定矩阵的线性组合证明了Littlewood-Offord定理，表明在布尔输入下具有集中性。
• 正定谱体的高斯表面积由其宽度与矩阵维度的函数有界，从而为伪随机性保证做出贡献。
• 为正则宽度-$M$正定谱体构造了显式PRGs，其种子长度为 $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$，实现了 $\mathsf{δ}$-欺骗。
• 在学习理论、布尔立方体上的不均匀性集合，以及结构化多项式阈值函数交集的PRGs中展示了应用。