[论文解读] Positive Systems Analysis Via Integral Linear Constraints

Sei Zhen Khong, Corentin Briat+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于积分线性约束（ILCs）的新型鲁棒稳定性分析框架，用于正反馈互连的非线性和时变系统。结果表明，瞬时增益条件可确保闭环系统的适定性和正性，通过可扩展的L1分析方法将经典LTI稳定性条件推广至更广泛的系统类别，且该方法具有线性规划可解性。

ABSTRACT

Closed-loop positivity of feedback interconnections of positive monotone nonlinear systems is investigated. It is shown that an instantaneous gain condition on the open-loop systems which implies feedback well-posedness also guarantees feedback positivity. Furthermore, the notion of integral linear constraints (ILC) is utilised as a tool to characterise uncertainty in positive feedback systems. Robustness analysis of positive linear time-varying and nonlinear feedback systems is studied using ILC, paralleling the well-known results based on integral quadratic constraints.

研究动机与目标

• 建立反馈互连正单调非线性系统保持正性和适定性的条件。
• 将正LTI系统的经典鲁棒稳定性结果推广至线性时变（LTV）和非线性系统。
• 开发一种基于积分线性约束（ILCs）的可扩展分析框架，其与积分二次约束（IQCs）类似，但对正系统具有更高的计算效率。
• 基于瞬时增益提出闭环正性的充分条件，避免依赖于完整系统动态。
• 利用L1-based约束和线性规划实现正系统在不确定性下的鲁棒性分析。

提出的方法

• 使用积分线性约束（ILCs）表征正反馈系统中的不确定性，将IQCs框架推广至正系统。
• 定义乘子向量 Π ∈ ℝ^{1×(m+p)} 以编码开环系统 G1 和 G2 上的ILC条件。
• 对算子 G1 和 G2 施加因果性和有界性假设，以确保在 L1e+ 上的适定性和稳定性。
• 通过不等式 ∥v∥₁ + ∥w∥₁ ≤ (‖ψ̄‖/ϵ)(∥d₁∥₁ + ∥d₂∥₁ 推导出稳定性充分条件，其中 ψ̄ 为乘子 Ψ 的最大绝对分量。
• 使用逆算子 (I − τG₂G₁)⁻¹ 并应用归纳论证，证明对所有 τ ∈ [0,1]，其在 L1e+ 上有界，从而确保稳定性。
• 通过将分析简化为涉及乘子 Π 和系统在直流（s=0）处增益的向量不等式，实现线性规划可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个正非线性系统的反馈互连可保证为正且适定？
• RQ2 能否使用ILCs将正LTI系统经典的静态增益条件推广至时变和非线性系统？
• RQ3 如何利用积分线性约束表征不确定性并确保正反馈系统中的鲁棒稳定性？
• RQ4 使用L1-based ILC是否可为正系统提供一种可扩展的替代IQCs分析的方法？
• RQ5 所提出的框架是否可应用于具有时变增益或结构化不确定性的系统？

主要发现

• 建立了闭环正性的充分条件：若开环系统通过ILCs满足瞬时增益条件，则反馈互连保持正性。
• 通过基于乘子的ILC公式，将经典条件 ρ(Ĝ₁(0)Ĝ₂(0)) < 1 推广至非线性和时变系统。
• 若 G₂ ∈ ILCc(Π) 且对所有 τ ∈ [0,1] 有 τG₁ ∈ ILC(Π)，则 [G₁, G₂] 在 L1e+ 上的鲁棒稳定性可保证，其中乘子 Π 编码了增益和不确定性边界。
• 稳定性条件导出一个线性规划可解的框架，其计算复杂度随系统维数线性增长。
• 对于LTI系统，当选择特定乘子 Π 时，该方法可作为特例恢复已知结果 ρ(Ĝ₁(0)Ĝ₂(0)) < 1。
• 该框架适用于时变增益 δ₁(t), δ₂(t) ∈ [0,α], [0,β] 的系统，若乘子条件 Π[Ĥ(0) I] < 0 成立，则可保证稳定性。