[论文解读] Positive volatility simulation in the Heston model

Simon J. A. Malham, Anke Wiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 89被引用 2

一句话总结

本文通过利用广义正态随机变量的幂次之和，推导出方差过程转移密度的新表示，提出了一种Heston随机波动率模型的精确模拟方法。该方法将Marsaglia的极坐标法扩展至该分布，实现了对真实转移密度的高效、稳健且精确的抽样——尤其适用于均值回归的平方根过程，且自由度较低、可触及零边界的情形。

ABSTRACT

In the Heston stochastic volatility model, the transition probability of the variance process can be represented by a non-central chi-square density. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. We prove a new representation for this density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Further we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing an exact method for generalized Gaussian sampling. The advantages are that for the mean- reverting square-root process in the Heston model and Cox-Ingersoll-Ross model, we can generate samples from the true transition density simply, efficiently and robustly.

研究动机与目标

• 为解决在自由度较少且零边界可触及时（外汇市场中常见的情形）模拟Heston模型方差过程的挑战。
• 在上述条件下，开发一种数值稳定且高效的方差过程真实转移密度抽样方法。
• 将Marsaglia的极坐标法扩展至广义正态分布，以实现Heston模型转移密度的精确抽样。
• 为均值回归平方根过程（如Heston和CIR模型）提供一种稳健的替代方法，以替代近似或基于Euler的方案。

提出的方法

• 将Heston模型中非中心卡方分布的密度表示为广义正态随机变量幂次之和的新形式。
• 利用广义正态分布的性质，通过变换方法实现精确模拟。
• 将原本用于标准正态变量的Marsaglia极坐标法扩展至广义正态分布，以实现精确抽样。
• 构建一种抽样算法，可直接从Heston模型中方差过程的真实转移密度生成路径。
• 通过避免Euler或Milstein方案中固有的离散化误差，确保数值稳定性和效率。
• 在方差过程均值回归且零边界可触及的情况下，验证该方法的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Heston模型中方差过程的转移密度能否表示为广义正态随机变量幂次之和？
• RQ2 Marsaglia的极坐标法是否可推广至新表示中所用的广义正态分布类？
• RQ3 该广义抽样方法能否在自由度较低且零边界可触及的条件下，实现Heston模型中方差过程的精确、高效与稳健模拟？
• RQ4 与基于标准离散化的方法相比，该方法在均值回归平方根过程中的准确性和效率如何？

主要发现

• Heston模型中方差过程的转移密度可精确表示为广义正态随机变量幂次之和，从而实现精确模拟。
• Marsaglia的极坐标法成功扩展至广义正态分布，使从所推导分布中精确抽样成为可能。
• 所提出的方法可直接从Heston和CIR模型中方差过程的真实转移密度中精确抽样，避免了离散化偏差。
• 该方法在自由度较低且零边界可触及的情形下特别有效且稳健，这在外汇市场中是典型情况。
• 该算法计算高效且数值稳定，在准确性和稳健性方面优于标准的Euler或Milstein方案。