[论文解读] Positivity and the Energy Momentum Tensor in Quantum Field Theory

José I. Latorre, H. Osborn|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 2

一句话总结

本文通过将量子态限制在物理上合理的子空间，重新审视了平坦空间量子场论中的弱能量条件，使得能量-动量张量期望值的正定性得以保持。在共形对称性下，推导出三点半函数参数的非平凡不等式，这些不等式在自由场论中除接近二维外均成立——二维附近的例外可通过额外的态限制得以解决，并确认了弯曲空间中拓扑项系数的正定性。

ABSTRACT

The applicability of the weak energy condition in flat space quantum field theory to expectation values of the the energy momentum tensor is reconsidered. It is shown how the usual counter arguments against the validity of any positivity condition fail if the states |ψ 〉 are restricted to a suitably defined subspace. A possible natural restriction on |ψ 〉 is suggested and illustrated by two quantum mechanical examples based on a simple perturbed harmonic oscillator Hamiltonian. The proposed quantum weak energy condition is applied to states formed by the action of scalar, vector and the energy momentum tensor operators on the vacuum. We assume conformal invariance in order to determine almost uniquely three-point functions involving the energy momentum tensor in terms of a few parameters. The positivity conditions lead to non trivial inequalities for these parameters. They are satisfied in free field theories, except in one case for dimensions close to two. Further restrictions on |ψ〉 are suggested which remove this problem. The inequalities which follow from considering the state formed by applying the energy momentum tensor to the vacuum are shown to imply that the coefficient of the topological term in the expectation value of the trace of the energy momentum tensor in an arbitrary curved space background is positive, in accord with calculations in free field theories.

研究动机与目标

• 通过将物理态 |ψ⟩ 的集合限制在物理上有意义的子空间，重新表述平坦空间量子场论中的弱能量条件。
• 通过识别量子态的自然限制，解决量子场论中正定性条件长期存在的反例，从而恢复其有效性。
• 将所提出的量子弱能量条件应用于由标量、矢量及能量-动量张量算符作用于真空生成的态。
• 在共形对称性下，使用最少的参数集，确定涉及能量-动量张量的三点半函数。
• 推导并分析这些参数的非平凡不等式，验证其在自由场论中的满足性，特别是与弯曲空间中迹异常的关系。

提出的方法

• 将量子态的希尔伯特空间 |ψ⟩ 限制在由物理约束（如微扰谐振子模型所引致的约束）定义的子空间中。
• 利用共形对称性约束涉及能量-动量张量的三点半函数形式，将其简化为对少数参数的依赖。
• 将所提出的量子弱能量条件应用于由标量、矢量及能量-动量张量算符作用于真空生成的态。
• 推导这些态中能量-动量张量期望值的正定性条件，从而导出三点半函数参数的不等式。
• 分析这些不等式对弯曲空间背景中能量-动量张量迹中拓扑项系数的影响。
• 使用两个量子力学例子（微扰谐振子）说明态限制的物理合理性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当量子态被限制在物理上合理的子空间时，弱能量条件是否能一致地应用于能量-动量张量期望值？
• RQ2 共形对称性对涉及能量-动量张量的三点半函数结构有何影响？
• RQ3 所导出的正定性条件是否对自由场论中这些三点半函数的参数施加了非平凡约束？
• RQ4 为何正定性条件在接近二维的自由场论中失效？是否可通过进一步限制态空间来解决此问题？
• RQ5 由能量-动量张量作用于真空生成的态中，能量-动量张量期望值的正定性是否意味着弯曲空间中拓扑项系数为正？

主要发现

• 所提出的对态 |ψ⟩ 的限制消除了标准反例，恢复了量子弱能量条件的有效性。
• 能量-动量张量的正定性条件导出共形对称性下三点半函数参数的非平凡不等式。
• 这些不等式在自由场论中成立，但接近二维时存在一种例外情况，此时条件不成立。
• 建议对 |ψ⟩ 施加进一步限制，以消除二维附近的失效，恢复一致性。
• 由能量-动量张量作用于真空生成的态导出的正定性约束，意味着在任意弯曲空间背景中，迹异常中拓扑项系数为正。
• 该结果与自由场论中的显式计算完全一致，证实了所导出正定性条件的稳健性。