[论文解读] Positivity in $T$-equivariant $K$-theory of flag varieties associated to Kac-Moody groups II

Seth Baldwin, Shrawan Kumar|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文在可对称化 Kac-Moody 群的旗流形的 T-等变 Grothendieck 群中建立了符号交替正性，证明了对角 Schubert 纤维基中结构常数的符号交替，并且其位于 (e^{-α_i} - 1) 的非负整数线性张量中。该结果推广了有限维情形下的早期工作，并通过对偶性、等变上同调以及去奇异化概形的有理奇点，利用欧拉示性数和上同调消去来控制符号，从而证实了 Lam-Schilling-Shimozono 关于仿射 Grassmannian 的猜想。

ABSTRACT

We prove sign-alternation of the structure constants in the basis of structure sheaves of opposite Schubert varieties in the torus-equivariant Grothendieck group of coherent sheaves on the flag varieties $G/P$ associated to an arbitrary symmetrizable Kac-Moody group $G$, where $P$ is any parabolic subgroup. This generalizes the work of Anderson-Griffeth-Miller from the finite case to the general Kac-Moody case, and affirmatively answers a conjecture of Lam-Schilling-Shimozono regarding the signs of the structure constants in the case of the affine Grassmannian.

研究动机与目标

• 将 Anderson-Grieffeth-Miller 在有限维群上的正性结果推广至可对称化 Kac-Moody 群。
• 正面解决 Lam-Schilling-Shimozono 关于仿射 Grassmannian 的 K-理论中结构常数符号的猜想。
• 在任意有限型抛物子群 P 的 G/P 的 T-等变 Grothendieck 群中建立符号交替性。
• 通过从等变情形的基变换将结果推广至普通（非等变）K-理论。
• 建立一个利用混合空间、等变对偶性和上同调消去的框架，以控制结构常数的符号。

提出的方法

• 通过等变欧拉-庞加莱配对，利用 Grothendieck 群 K^T_0(ḠX) 与紧支集 K-理论 KT_0(X) 之间的对偶性。
• 引入一个“混合空间” XP 和一个“混合群” Γ，将等变 K-理论约化为非等变上同调。
• 应用 Sierra 的有限维模型中的横截性结果，以控制关键层的支集和上同调。
• 构造一个关键概形 Z 的去奇异化 eZ，并证明 Z 具有有理奇点，且 ∂Z 是 Cohen-Macaulay。
• 利用 Serre 对偶性和局部到整体的谱序列，将 ONγ(−Mγ) 的上同调与 Ext-群联系起来，以控制欧拉示性数的符号。
• 利用平坦性与 Koszul 复形技术，验证典范层 ωNγ(Mγ) 在一般纤维上同构于 ωZ(∂Z) 的限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac-Moody 旗流形的 T-等变 Grothendieck 群中的结构常数是否满足符号交替性质？
• RQ2 Lam-Schilling-Shimozono 关于仿射 Grassmannian 中结构常数符号的猜想在 K-理论设定下是否成立？
• RQ3 能否通过上同调消去与对偶性确定 K^T_0(G/P) 中结构常数的符号？
• RQ4 概形 Z 及其去奇异化 eZ 的有理奇点性质是否能确保实现符号控制所需的上同调消去？
• RQ5 混合群 Γ 是否可用于将等变问题约化为具有可控横截性的非等变问题？

主要发现

• 在 G/B 的 T-等变 Grothendieck 群中，结构常数 dw^u,v 满足 (−1)^{ℓ(w)+ℓ(u)+ℓ(v)}dw^u,v ∈ Z≥0[(e^{-α_1}−1),…,(e^{-α_r}−1)]。
• 该结果可推广至任意标准有限型抛物子群 P 的 G/P，其中 dw^u,v(P) 满足相同的符号交替条件。
• 在普通 K-理论中，结构常数 aw^u,v(P) 满足 (−1)^{ℓ(w)+ℓ(u)+ℓ(v)}aw^u,v(P) ∈ Z≥0。
• Lam-Schilling-Shimozono 关于仿射 Grassmannian 的猜想得到证实：(−1)^{ℓ(u)+ℓ(v)+ℓ(w)}bw^u,v ∈ Z≥0。
• 关键上同调群 Hp(Nγ, ONγ(−Mγ)) 对所有 p ≠ |j| + ℓ(w) − ℓ(u) − ℓ(v) 消去，从而确定了欧拉示性数的符号。
• 典范层 ωZ(∂Z) 在混合群 Γ 的非空开子集上平坦，从而可利用半连续性与对偶性证明上同调消去。