[论文解读] Positivity of divisors on blown-up projective spaces, I

Olivia Dumitrescu, Elisa Postinghel|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

该论文证明了在一般位置的 ℙⁿ 上对 s ≤ 2n 个点进行 blows up 时的 Fujita 猜想，以及在系数有界条件下对任意 s 的无限多个丰沛除子族的 Fujita 猜想。通过利用消矢定理与数值准则，证明了当 s ≤ 2n 时，拟正性蕴含全局生成性，而充分正性蕴含非常正性；并通过系数约束，将 Fujita 型的全局生成性与非常正性结果推广至一大类除子。

ABSTRACT

We study $l$-very ample, ample and semi-ample divisors on the blown-up projective space $\mathbb{P}^n$ in a collection of points in general position. We establish Fujita's conjectures for all ample divisors with the number of points bounded above by $2n$ and for an infinite family of ample divisors with an arbitrary number of points.

研究动机与目标

• 刻画在一般位置点处进行 blows up 的 ℙⁿ 上除子的正性性质——拟正性、充分正性、全局生成性与非常正性。
• 在 s ≤ 2n 的情况下，建立 ℙⁿ 在点处进行 blows up 时的 Fujita 猜想。
• 在系数有界条件下，将 Fujita 猜想推广至任意 s 的无限多个丰沛除子族。
• 证明当 s ≤ 2n 时，拟正性与全局生成性等价，充分正性与非常正性等价。
• 提供基于系数不等式的半丰沛性与丰沛性的数值准则。

提出的方法

• 使用先前工作 [17] 中建立的关于在一般位置点处进行 blows up 的 ℙⁿ 上除子的消矢定理。
• 应用通过交点理论得到的丰沛性数值准则：当且仅当对所有有效 1-循环 C 有 D·C > 0 时，除子 D 是丰沛的。
• 采用如下条件：若 D = dH - ∑mᵢEᵢ，则其全局生成当且仅当 ∑mᵢ ≤ nd 且对所有 i 有 mᵢ ≤ d，该结论由消矢定理导出。
• 利用 s ≤ 2n 时拟正性与全局生成性（以及充分正性与非常正性）等价的结论，该等价性通过消矢定理与数值条件证明。
• 应用条件 ∑mᵢ ≤ nd 作为充分条件，使得除子 mD + K_X 满足 Fujita 猜想所要求的正性。
• 依赖于 X_s 的 Mori 锥体与拟正锥体的结构，证明当 s ≤ 2n 时，拟正锥体由通过两点的直线类与例外除子中的直线类生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般位置的 ℙⁿ 上对 s ≤ 2n 个点进行 blows up 时，除子在何种条件下是全局生成的？在何种条件下是非常正的？
• RQ2 Fujita 猜想是否对 ℙⁿ 在 s ≤ 2n 个点处的 blows up 成立？
• RQ3 在系数有界条件下，Fujita 猜想能否推广至任意 s 的无限多个丰沛除子族？
• RQ4 在系数 mᵢ 与 d 满足何种条件时，除子 D = dH - ∑mᵢEᵢ 是半丰沛或丰沛的？
• RQ5 是否存在一个数值准则，能以系数不等式的形式刻画 ℙⁿ blows up 上的拟正性与丰沛性？

主要发现

• 当 s ≤ 2n 时，N¹(X_s)ℝ 中半丰沛除子的锥由不等式 ∑mᵢ ≤ nd 与对所有 i 有 mᵢ ≤ d 所刻画。
• 当 s ≤ 2n 时，N¹(X_s)ℝ 中丰沛除子的锥由严格不等式 ∑mᵢ < nd 与对所有 i 有 mᵢ < d 所刻画。
• Fujita 猜想对 ℙⁿ 在 s ≤ 2n 个点处的 blows up 成立：当 m ≥ n+1 时，mD + K_X 是全局生成的；当 m ≥ n+2 时，mD + K_X 是非常正的。
• 对任意 s，若 ∑mᵢ ≤ nd，则 Fujita 猜想对除子成立：当 m ≥ n+1 时，mD + K_X 是全局生成的；当 m ≥ n+2 时，mD + K_X 是非常正的。
• 当 s ≤ 2n 时，拟正性与全局生成性等价，充分正性与非常正性等价。
• 当 s ≤ 2ⁿ 时，X_s 的曲线 Mori 锥体由通过两点的直线类与例外除子中的直线类生成。