[论文解读] Positivity of heights of codimension 2 cycles over function field of characteristic 0

Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文在特征 0 的函数域上，利用经典 Hodge 指数定理，证明了同调平凡的 codimension 2 循环的高配对的 Hodge 指数猜想。它确立了此类循环的自交数非负，且当且仅当循环在数值上等价于横截除子的纤维时等号成立，从而解决了 Bogomolov 猜想和 Faltings 高度界研究中先前工作的一个关键技术缺口。

ABSTRACT

In this note, we show how the classical Hodge index theorem implies the Hodge index conjecture of Beilinson for height pairing of homologically trivial codimension two cycles over function field of characteristic 0. Such an index conjecture has been used in our paper on Gross-Schoen cycles to deduce the Bogomolov conjecture and a lower bound for Hodge class (or Faltings height) from some conjectures about metrized graphs which have just been recently proved by Zubeyir Cinkir.

研究动机与目标

• 在特征 0 的函数域上，确立同调平凡的 codimension 2 循环的高配对的 Hodge 指数猜想。
• 提供此类循环高配对非负性的证明，填补先前工作的空白。
• 证明高配对中的等式成立的条件恰好是循环在数值上等价于横截除子的纤维。
• 利用 Néron–Tate 配对和 Néron 模型，证明高度泛函在度数为 0 的线丛的 Picard 赋值函子上恒为零。
• 在 codimension 2 循环的 Hodge 指数猜想成立的假设下，将结果推广至正特征。

提出的方法

• 通过 Lefschetz 原理，将问题约化为在总空间 X 上的经典 Hodge 指数定理，假设 k = ℂ。
• 构造一个系数为有理数的横截除子 U，使得 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ 在上同调中为零。
• 利用 Néron–Tate 高度配对和 Néron 模型上的通用 Poincaré 线丛，证明泛函 ℓ 在 Pic(Xₖ) 上对 Pic⁰(Xₖ) 恒为零。
• 应用 Néron 模型的普遍性质，将 Abel–Jacobi 映射和 Poincaré 线丛延拓至总空间。
• 利用强 Lefschetz 定理和除子的 Hodge 猜想，将 1-循环类 Wₖ 提升为具有有理系数的除子类 Uₖ。
• 证明泛函 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) 在 Pic(X) 上恒为零，意味着对所有 ℳ 有 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 0 的函数域上，codimension 2 循环的高配对 Hodge 指数猜想是否成立？
• RQ2 在给定的零化条件下，能否确立自交数 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ 的非负性？
• RQ3 在何种条件下实现 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ = 0？
• RQ4 Néron–Tate 高度配对与泛函 ℓ 在 Pic⁰(Xₖ) 上的零化之间有何关系？
• RQ5 在 codimension 2 循环的 Hodge 指数猜想成立的假设下，该结果能否推广至正特征？

主要发现

• 对于满足两个零化条件的任意 codimension 2 循环 z，其自交数 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ 非负。
• 自交数等号成立当且仅当 z 在数值上等价于横截除子 U 在 B 的某点上的纤维 u。
• 泛函 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) 在 Pic(X) 上恒为零，意味着对所有线丛 ℳ 有 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0。
• 泛函 ℓ 仅依赖于 ℳ 在 NS(Xₖ)ℚ 中的像，且由具有有理系数的 1-循环类 Wₖ 表示。
• 存在一个具有有理系数的除子 Uₖ，使得 Wₖ = Uₖ · c₁(ℒₖ)ⁿ⁻³ 模 Pic⁰(Xₖ)，从而可构造出所需的横截除子 U。
• 在 codimension 2 循环的 Hodge 指数猜想成立的假设下，该结果可推广至正特征。