[论文解读] Positivity of holomorphic vector bundles in terms of $L^p$-conditions of $\bar\partial$

Fusheng Deng, Jiafu Ning+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文通过 $L^p$-估计和 $ar\partial$-方程的 $L^p$-延拓，建立了全纯 Hermitian 向量丛的 Nakano 正性和 Griffiths 正性的刻画。它引入了四种新条件——最优和多重粗 $L^p$-估计与延拓——表明 Nakano 正性等价于最优 $L^2$-估计条件，而当 $p>1$ 或 $p>0$ 时，Griffiths 正性可由其余三种条件中的任意一种推出。这些结果为 Hörmander 的 $L^2$-估计定理和 Ohsawa-Takegoshi 延拓定理提供了逆定理。

ABSTRACT

We study the positivity properties of Hermitian (or even Finsler) holomorphic vector bundles in terms of $L^p$-estimates of $\bar\partial$ and $L^p$-extensions of holomorphic objects. To this end, we introduce four conditions, called the optimal $L^p$-estimate condition, the multiple coarse $L^p$-estimate condition, the optimal $L^p$-extension condition, and the multiple coarse $L^p$-extension condition, for a Hermitian (or Finsler) vector bundle $(E,h)$. The main result of the present paper is to give a characterization of the Nakano positivity of $(E,h)$ via the optimal $L^2$-estimate condition. We also show that $(E,h)$ is Griffiths positive if it satisfies the multiple coarse $L^p$-estimate condition for some $p>1$, the optimal $L^p$-extension condition, or the multiple coarse $L^p$-extension condition for some $p>0$. These results can be roughly viewed as converses of Hörmander's $L^2$-estimate of $\bar\partial$ and Ohsawa-Takegoshi type extension theorems. As an application of the main result, we get a totally different method to Nakano positivity of direct image sheaves of twisted relative canonical bundles associated to holomorphic families of complex manifolds.

研究动机与目标

• 建立 $ar\partial$-估计与 $ar\partial$-延拓的 $L^p$-条件，以刻画全纯 Hermitian 向量丛的正性性质。
• 通过将正性与 $ar\partial$-解的可解性及增长条件联系起来，为 Hörmander 的 $L^2$-估计定理和 Ohsawa-Takegoshi 延拓定理提供逆定理。
• 将这些刻画应用于扭曲相对典范丛的直接像层，通过 $L^2$-估计证明 Nakano 正性。
• 将该框架扩展至奇异 Finsler 度量和无穷秩丛，扩大其在复几何与模形式理论中的适用性。

提出的方法

• 引入最优 $L^p$-估计条件：对 $ar\partial f = 0$，存在解 $u$ 满足 $\bar\partial u = f$，且其 $L^p$-范数被 $\langle B_{A,h_A}^{-1}f,f \rangle^{p/2}$ 控制。
• 定义多重粗 $L^p$-估计条件，附带增长控制 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$（当 $m \to \infty$ 时），确保在张量幂 $E^{\otimes m}$ 上的统一有界性。
• 引入最优 $L^p$-延拓条件：对任意 $z$ 及单位向量 $a \in E_z$，存在一个在全纯柱面上的全纯截面 $f$，满足 $f(z) = a$ 且 $L^p$-范数 $\leq 1$。
• 定义多重粗 $L^p$-延拓条件：对每个 $m$，存在截面 $f_m \in H^0(D, E^{\otimes m})$，满足 $f_m(z) = a^{\otimes m}$ 且 $\int_D |f_m|^p \leq C_m$，其中 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$。
• 利用 Kähler 流形上 $ar\partial$ 的 $L^2$ 理论，以及曲率算子 $B_{A,h_A} = [i\Theta_{A,h_A} \otimes \mathrm{id}_E, \Lambda_\omega]$，将曲率与 $L^p$-界联系起来。
• 证明在 Kähler 度量变换下，逆曲率算子 $[i\Theta, \Lambda_{\omega_1}]^{-1}$ 的不变性，确保 $L^p$-估计在不同度量间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯 Hermitian 向量丛的 Nakano 正性能否通过 $ar\partial$ 上的 $L^2$-估计条件来刻画？
• RQ2 若 $ar\partial u = f$ 的 $L^p$-解存在且具有统一的增长控制，是否蕴含 Griffiths 正性？
• RQ3 对 $p>0$，最优 $L^p$-延拓条件是否可推出 Griffiths 正性？
• RQ4 对 $p>1$ 或 $p>0$，多重粗 $L^p$-延拓条件是否给出 Griffiths 正性的等价刻画？
• RQ5 这些 $L^p$-条件能否用于证明扭曲相对典范丛的直接像层的正性？

主要发现

• 全纯 Hermitian 向量丛 $(E,h)$ 的 Nakano 正性等价于最优 $L^2$-估计条件，即对任意 $f \in C_c^\infty(X, \wedge^{n,1}T^*_X \otimes E \otimes A)$ 满足 $\bar\partial f = 0$，存在 $u \in L^2(X, \wedge^{n,0}T_X^* \otimes E \otimes A)$ 使得 $\bar\partial u = f$ 且 $\int_X |u|^2_{h \otimes h_A} dV_\omega \leq \int_X \langle B_{A,h_A}^{-1}f,f \rangle^{1} dV_\omega$。
• 若 $(E,h)$ 满足某 $p>1$ 的多重粗 $L^p$-估计条件，且常数 $C_m$ 满足 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$（当 $m \to \infty$ 时），则 Griffiths 正性成立。
• Griffiths 正性也由任意 $p>0$ 的最优 $L^p$-延拓条件推出，其中对每个 $z$ 及单位 $a \in E_z$，存在一个在全纯柱面上的全纯截面 $f$，满足 $f(z) = a$ 且 $\frac{1}{\mu(P)}\int_{z+P} |f|^p \leq 1$。
• 对某 $p>0$ 的多重粗 $L^p$-延拓条件也蕴含 Griffiths 正性，其中 $f_m \in H^0(D, E^{\otimes m})$，$f_m(z) = a^{\otimes m}$，且 $\int_D |f_m|^p \leq C_m$，其中 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$。
• 最优 $L^2$-估计条件在纤维上通过 $L^2$-估计，可推出直接像层 $\pi_*(K_{X/Y} \otimes E)$ 的 Nakano 正性，当 $E$ 具有 Nakano 半正曲率时。
• 即使纤维丛不光滑，直接像层上的度量仍可通过 $L^p$-延拓与估计条件扩展为整个基空间上的正曲率奇异度量。