[论文解读] Positivity of relative canonical bundles for families of canonically polarized manifolds

Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用 20

一句话总结

本文通过纤维上的凯勒-爱因斯坦度量，建立了极化流形族的相对 canonical 线丛的严格正性，证明了由其诱导的 Hermitian 度量是严格正的。进一步表明广义 Weil-Petersson 形式可延拓为正当前，且行列式线丛可延拓至紧化空间，从而为极化代数簇模空间的拟射影性提供了简短证明。

ABSTRACT

Given an effectively parameterized family of canonically polarized manifolds the Kaehler-Einstein metrics on the fibers induce a hermitian metric on the relative canonical bundle. We use a global elliptic equation to show that this metric is strictly positive. For degenerating families we obtain a singular hermitian metric. Main application is an analytic proof of the quasi-projectivity of the moduli space of canonically polarized manifolds. Further applications in arXiv:1002.4858v2.

研究动机与目标

• 建立由流形族纤维上凯勒-爱因斯坦度量诱导的相对 canonical 线丛上的 Hermitian 度量的严格正性。
• 证明该度量的曲率形式可作为正的闭当前延拓至紧化总空间，即使在退化族中亦然。
• 证明基空间上的广义 Weil-Petersson 形式可作为正当前延拓至模空间的紧化形式，从而实现模空间上正线丛的构造。
• 通过行列式线丛及其 Quillen 度量的延拓，证明极化代数簇模空间的拟射影性。
• 利用曲率延拓与 Weil-Petersson 当前的正性，提供模空间拟射影性的新而简短的证明。

提出的方法

• 使用一个全局椭圆方程，将调和 Kodaira-Spencer 形式在每一点的范数与相对 canonical 线丛的曲率联系起来。
• 应用 Yau 的 C⁰-估计，以控制退化族中凯勒-爱因斯坦度量的行为。
• 采用具有正当前的 Hermitian 线丛的延拓定理，使得行列式线丛可延拓至紧化空间。
• 使用纤维积分，将相对 canonical 线丛的曲率与基空间上的广义 Weil-Petersson 形式联系起来。
• 应用 Siu 的正当前分解定理，将 Weil-Petersson 形式在模空间紧化中的奇点处延拓。
• 利用行列式线丛上的 Quillen 度量，并证明其曲率形式与相对 canonical 线丛的第一陈类的纤维积分一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 由纤维上凯勒-爱因斯坦度量诱导的相对 canonical 线丛上的 Hermitian 度量是否严格正？
• RQ2 该度量的曲率形式是否可作为正当前延拓至退化族的紧化总空间？
• RQ3 基空间上的广义 Weil-Petersson 形式是否可作为正当前延拓至模空间的紧化形式？
• RQ4 与相对 canonical 线丛相关的行列式线丛是否可延拓至模空间的紧化形式？
• RQ5 Weil-Petersson 当前的正性与线丛的延拓是否意味着极化代数簇模空间的拟射影性？

主要发现

• 由纤维上凯勒-爱因斯坦度量诱导的相对 canonical 线丛 ${\mathcal{K}}_{{\mathcal{X}}/S}$ 上的 Hermitian 度量是严格正的。
• 该度量的曲率形式可延拓至紧化总空间 $\overline{{\mathcal{X}}}$，作为具有至多解析奇点的正的闭当前。
• 基空间 $S$ 上的广义 Weil-Petersson 形式可作为正的闭当前延拓至模空间的紧化形式。
• 与相对 canonical 线丛相关的行列式线丛可延拓至模空间的紧化形式，其上配备具有至多解析奇点的正 Hermitian 度量。
• 极化代数簇模空间 ${\mathcal{M}}_{\text{can}}$ 的拟射影性，由 Weil-Petersson 当前与行列式线丛的正性及延拓性质所推出。
• 对于紧化曲线上的极化代数曲面族，若非等参族，则其基曲线的亏格 $g(C) > 1$，或至少存在一个奇异纤维，此结论通过曲率估计与高斯-博内定理得出。