[论文解读] Positivity of the symmetric group characters is as hard as the polynomial time hierarchy

Christian Ikenmeyer, Igor Pak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

semigroups and automata theory参考文献 60被引用 6

一句话总结

该论文证明，决定对称群不可约特征标的是否消失或为正的计算问题，其计算复杂度与多项式层级中的问题相当。它证明了判断特征标是否消失的问题是 C=P-完全的，且特征标平方不属于 #P，除非多项式层级坍缩，从而排除了特征标平方存在任何正向组合解释的可能性。

ABSTRACT

We prove that deciding the vanishing of the character of the symmetric group is $C_=P$-complete. We use this hardness result to prove that the the square of the character is not contained in $\#P$, unless the polynomial hierarchy collapses to the second level. This rules out the existence of any (unsigned) combinatorial description for the square of the characters. As a byproduct of our proof we conclude that deciding positivity of the character is $PP$-complete under many-one reductions, and hence $PH$-hard under Turing-reductions.

研究动机与目标

• 确定决定对称群不可约特征标是否消失的计算复杂度。
• 研究对称群特征标平方是否能以正向组合方式解释。
• 在标准复杂性理论假设下，确立特征标正性与消失问题的精确复杂度类。
• 证明特征标平方不存在 #P 描述，从而揭示组合表示理论中的根本性限制。

提出的方法

• 将已知的 C=P-完全问题归约到对称群特征标消失问题。
• 利用 Murnaghan–Nakayama 法则和边框钩表来通过带符号和分析特征标值。
• 应用 Littlewood–Richardson 法则和多面体解释，将特征标计数与多面体中的整数点联系起来。
• 利用 Toda 定理以及 PP 和 C=P 的封闭性质，通过图灵归约和多对一归约推导出硬度结果。
• 构造一组排列和分拆，使得特征标值与表的带符号和相关联，从而支持硬度证明。
• 利用特征标平方属于 GapP 但不属于 #P 的事实，除非多项式层级坍缩，该结论基于 coNP = C=P 的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断对称群特征标是否消失的问题是否属于 #P，或更难？
• RQ2 对称群特征标平方能否以正向方式表示为组合对象的数量？
• RQ3 对称群特征标正性问题的精确复杂度类是什么？
• RQ4 特征标平方不属于 #P 是否意味着存在根本性障碍，阻碍其组合解释？
• RQ5 这些复杂度结果对代数组合学中双射证明的存在性有何影响？

主要发现

• 在多对一归约下，判断对称群特征标是否消失的问题是 C=P-完全的。
• 除非多项式层级坍缩至第二层，否则对称群特征标平方不属于 #P。
• 在多对一归约下，对称群特征标正性问题是 PP-完全的，因此在图灵归约下是 PH-难的。
• 该结果意味着，即使在最广泛的意义下，特征标平方也不存在正向组合解释。
• 特征标计算问题是强 GapP-完全的，表明其计算难度超越了 #P。
• 在假设 PH ≠ Σ₂^p 的前提下，这些结果排除了特征标平方相等性存在多项式时间证书的可能性，即使这些值存在差异。