[论文解读] Positivity of the time constant in a continuous model of first passage percolation

Jean-Baptiste Gouéré, Marie Théret|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文在 ℝᵈ（d ≥ 2）上建立了连续首达时渗透模型中时间常数 μ 的正性，其中在随机集合 Σ 外部的传播速度为 1，在 Σ 内部为无穷大。在对半径分布的几乎最优矩条件之下，μ > 0 当且仅当底层泊松过程的强度 λ 低于临界阈值 𝜆̂_c，该阈值标志着连续渗透中无界连通性的出现。

ABSTRACT

We consider a non trivial Boolean model $\\Sigma$ on ${\\mathbb R}^d$ for $d\\geq 2$. For every $x,y \\in {\\mathbb R}^d$ we define $T(x,y)$ as the minimum time needed to travel from $x$ to $y$ by a traveler that walks at speed $1$ outside $\\Sigma$ and at infinite speed inside $\\Sigma$. By a standard application of Kingman sub-additive theorem, one easily shows that $T(0,x)$ behaves like $\\mu \\|x\\|$ when $\\|x\\|$ goes to infinity, where $\\mu$ is a constant named the time constant in classical first passage percolation. In this paper we investigate the positivity of $\\mu$. More precisely, under an almost optimal moment assumption on the radii of the balls of the Boolean model, we prove that $\\mu\ extgreater{}0$ if and only if the intensity $\\lambda$ of the Boolean model satisfies $\\lambda \ extless{} \\widehat{\\lambda}\\_c$, where $ \\widehat{\\lambda}\\_c$ is one of the classical critical parameters defined in continuum percolation.

研究动机与目标

• 确定在 ℝᵈ 上的连续首达时渗透模型中时间常数 μ 严格为正的条件。
• 将 μ 的正性与连续渗透中临界强度阈值 𝜆̂_c 相关联。
• 在存在具有无限速度区域的随机介质条件下，建立测地线旅行时间随距离线性增长的条件。
• 基于半径分布的矩条件，提供线性时间增长的精确判据。

提出的方法

• 通过泊松分布的随机球体构成的布尔模型 Σ，定义一个连续首达时渗透模型，其半径为独立同分布。
• 将从 x 到 y 的通行时间 T(x,y) 定义为从 x 到 y 的最小通行时间，其中在 Σ 外部速度为 1，在 Σ 内部速度为无穷大。
• 应用 Kingman 的次可加大数定律，证明 T(0,nx)/n 几乎必然且在 L¹ 范数下收敛到一个确定性极限 μ。
• 利用各向同性和均匀性论证，证明 μ 与方向无关，并在单位球面上实现一致收敛。
• 通过将时间常数与布尔模型中无界路径的存在性关联，建立 μ > 0 ⇔ λ < 𝜆̂_c 的等价性。
• 利用矩条件 ∫rᵈν(dr) < ∞ 确保非退化性，并支持渗透耦合技术的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝᵈ 上的连续首达时渗透模型中，时间常数 μ 严格为正的条件是什么？
• RQ2 μ 的正性如何与连续渗透中的临界强度 𝜆̂_c 相关联？
• RQ3 当强度 λ 低于临界阈值 𝜆̂_c 时，时间常数 μ 是否为正，否则为零？
• RQ4 对半径分布的何种矩条件可确保时间常数正性判据的有效性？
• RQ5 在模型假设下，时间常数 μ 是否可在 ℝᵈ 的所有方向上一致表征？

主要发现

• 时间常数 μ 严格为正当且仅当泊松过程的强度 λ 小于临界阈值 𝜆̂_c。
• 临界阈值 𝜆̂_c 定义为 sup{λ > 0 : lim_{r→∞} P(S(r) ↔ S(2r)) = 0}，其中 ↔ 表示在 Σ 中的连通性。
• 由于模型的各向同性，时间常数 μ 与方向无关，且在单位球面上一致满足 μ > 0。
• 当 n → ∞ 时，T(0,nx)/n 几乎必然且在 L¹ 范数下收敛到 μ，且对所有 x ∈ S(1) 一致成立。
• 条件 ∫rᵈν(dr) < ∞ 是避免退化（即几乎必然有 Σ = ℝᵈ）和确保局部球体计数有限的必要且充分条件。
• 结果建立了精确的相变：μ > 0 当且仅当 λ < 𝜆̂_c，将首达时渗透与连续渗透临界性联系起来。