[论文解读] Positivity-preserving and energy-dissipative finite difference schemes for the Fokker-Planck and Keller-Segel equations

Jingwei Hu, Xiangxiong Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

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一句话总结

本文提出两种半隐式有限差分格式——空间二阶与四阶精度，用于Fokker-Planck方程和Keller-Segel方程。这些格式保持非负性并耗散能量，其中四阶格式在较宽松的时间步长与网格尺寸约束下仍能保持这些性质，标志着首个同时保持非负性与能量衰减的高阶空间离散化方法。

ABSTRACT

In this work, we introduce semi-implicit or implicit finite difference schemes for the continuity equation with a gradient flow structure. Examples of such equations include the linear Fokker-Planck equation and the Keller-Segel equations. The two proposed schemes are first order accurate in time, explicitly solvable, and second order and fourth order accurate in space, which are obtained via finite difference implementation of the classical continuous finite element method. The fully discrete schemes are proven positivity-preserving and energy-dissipative: the second order scheme can achieve so unconditionally; the fourth order scheme only requires a mild time step and mesh size constraint. Furthermore, the fourth order scheme is the first high order spatial discretization that can achieve both positivity and energy decay properties, which is suitable for long time simulation and to obtain accurate steady state solutions.

研究动机与目标

• 为Fokker-Planck与Keller-Segel等梯度流方程开发保持结构的数值格式，实现长时间稳定性。
• 确保离散解保持非负，并使能量单调衰减，以模拟连续变分结构。
• 构建高阶空间离散化（二阶与四阶），在无需严格时间步长限制下保持非负性与能量耗散。
• 实现对化学趋向与扩散模型的精确长时间模拟及可靠的稳态计算。

提出的方法

• 采用半隐式的一阶时间离散化，以全隐式或半隐式方式求解系统，确保稳定性。
• 通过在均匀网格上使用线性与二次多项式对连续有限元方法的有限差分近似，实现二阶与四阶空间精度。
• 格式源自连续方程的等价变系数扩散形式：∂ₜρ = ∇·(ℳ∇(ρ/ℳ))，其中 ℳ = exp(−(𝒱 + 𝒲∗ρ))。
• 通过离散最大值原理论证，利用离散格式上的单调性条件强制保持非负性。
• 通过证明离散自由能泛函随时间减小，建立能量耗散性，与连续能量衰减保持一致。
• 四阶格式仅需对时间步长施加下界约束（而非上界），即可保证单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶有限差分格式能否同时保持Fokker-Planck与Keller-Segel方程的非负性与能量耗散？
• RQ2 为确保高阶格式的单调性与非负性，所需的时间与空间离散化约束为何？
• RQ3 所提出的格式在长时间模拟与接近爆破区域的表现如何？
• RQ4 当网格约束放松时，四阶格式是否仍能保持非负性与能量衰减？

主要发现

• 二阶格式在无条件意义下保持非负性与能量耗散，确保无需时间步长限制的稳定性。
• 四阶格式在较宽松约束下实现非负性与能量耗散：时间步长仅需有下界，无需上界。
• 数值结果表明，两种格式在子临界初始质量下均收敛至稳态，T ≈ 13.52时满足∥ρⁿ⁺¹ − ρⁿ∥∞ ≤ 10⁻⁸。
• 在超临界初始质量下，四阶格式比二阶格式更准确地捕捉爆破动力学，尤其在T = 0.8时表现更优。
• 能量演化图证实两种格式均保持单调衰减，即使在爆破后也未违反能量耗散或非负性。
• 四阶格式是首个同时保持非负性与能量耗散的高阶空间离散化方法，可实现精确的长时间模拟。