[论文解读] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part II: The multidimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对化学反应性可压缩流的高阶、多维不连续伽辽金方法，通过线性规模的限制器强制实现密度、压力及组分浓度的非负性，以及熵的下界，从而保持质量、总能量和原子元素的离散守恒，维持曲形单元上的压力平衡，并在粗网格上实现高阶多项式对复杂爆炸波的鲁棒、精确模拟，表明熵边界约束对于稳定性而言至关重要，仅保证非负性不足以维持稳定。

ABSTRACT

In this second part of our two-part paper, we extend to multiple spatial dimensions the one-dimensional, fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme developed in the first part for the chemically reacting Euler equations. Our primary objective is to enable robust and accurate solutions to complex reacting-flow problems using the high-order discontinuous Galerkin method without requiring extremely high resolution. Variable thermodynamics and detailed chemistry are considered. Our multidimensional framework can be regarded as a further generalization of similar positivity-preserving and/or entropy-bounded discontinuous Galerkin schemes in the literature. In particular, the proposed formulation is compatible with curved elements of arbitrary shape, a variety of numerical flux functions, general quadrature rules with positive weights, and mixtures of thermally perfect gases. Preservation of pressure equilibrium between adjacent elements, especially crucial in simulations of multicomponent flows, is discussed. Complex detonation waves in two and three dimensions are accurately computed using high-order polynomials. Enforcement of an entropy bound, as opposed to solely the positivity property, is found to significantly improve stability. Mass, total energy, and atomic elements are shown to be discretely conserved.

研究动机与目标

• 将一维正性保持与熵边界约束的DG格式扩展至多维空间，用于化学反应性流动。
• 在相对粗的网格上实现复杂反应流的鲁棒、高阶模拟，而无需过度提高分辨率。
• 在多维曲面网格设置下，特别是在材料界面处，保持元素之间的压力平衡。
• 在详细化学与热力学模型存在的情况下，确保质量、总能量与原子组分的离散守恒。
• 证明熵边界约束在反应步骤中对非线性求解器稳定性的关键作用，特别是在粗网格爆炸波模拟中。

提出的方法

• 该方法通过任意形状的高阶几何近似，将全守恒的DG公式扩展至多维曲形单元。
• 采用线性规模的限制器，强制实现组分浓度非负、密度为正、压力为正，以及特定热力学熵的下界。
• 该格式与一般求积规则（正权重）、任意数值通量函数以及热力学理想气体混合物兼容。
• 通过一致评估热力学状态与节点基函数的选择，保持压力平衡，扩展了一维已有工作。
• 施加人工粘性以抑制熵与正性约束未能消除的小尺度不稳定性。
• 反应步骤采用算子分裂方法，并利用对角范数求和积分法DG格式处理刚性化学源项。

实验结果

研究问题

• RQ1 多维DG方法能否在化学反应性流动中同时保持密度、压力与组分浓度的非负性，并强制实施熵的下界？
• RQ2 如何在具有任意几何逼近阶次的多维曲形单元上保持压力平衡？
• RQ3 与仅保证正性相比，熵边界约束对高阶反应流模拟中非线性求解器稳定性与收敛性的影响如何？
• RQ4 能否使用该格式在相对粗的网格上实现高阶多项式对爆炸波进行鲁棒且精确的模拟？
• RQ5 与现有正性保持或熵边界约束的DG格式相比，该方法在灵活性与鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 在2D热泡对流测试中，该方法在多种多项式阶次下成功保持了曲形单元间压力与速度的平衡。
• 在2D与3D爆炸波模拟中，该方法在粗网格上使用高达p=2的多项式阶次实现了稳定且精确的解，而以往方法则需使用线性多项式与极细网格。
• 熵边界强制被证明对求解器收敛至关重要；若无此约束，非线性求解器会因温度大幅下探而停滞或显著变慢。
• 在光滑流动（如热泡对流）中，该方法表现出最优的高阶收敛性，证实了其精度。
• 在所有测试案例中，质量、总能量与原子组分均守恒至机器精度，验证了该格式的离散守恒特性。
• 三维爆炸波模拟揭示了对称的、同相的矩形模态结构，准确预测了三重点线碰撞与冲击波拍打现象，证实了物理保真度。