[论文解读] Positivity-preserving, energy stable numerical schemes for the Cahn-Hilliard equation with logarithmic potential

Wenbin Chen, Cheng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 32被引用 17

一句话总结

本文提出了一种针对具有对数 Flory-Huggins 势的 Cahn-Hilliard 方程的一阶和二阶有限差分格式，确保了相变量的正性保持与无条件能量稳定性。该格式对非线性对数项和表面扩散项采用隐式处理，利用对数势的奇异性，防止相变量达到 ±1，从而保证了适定性与最优收敛速率，且无需时间步长限制。

ABSTRACT

We present and analyze finite difference numerical schemes for the Allen Cahn/Cahn-Hilliard equation with a logarithmic Flory Huggins energy potential. Both the first order and second order accurate temporal algorithms are considered. In the first order scheme, we treat the nonlinear logarithmic terms and the surface diffusion term implicitly, and update the linear expansive term and the mobility explicitly. We provide a theoretical justification that, this numerical algorithm has a unique solution such that the positivity is always preserved for the logarithmic arguments. In particular, our analysis reveals a subtle fact: the singular nature of the logarithmic term around the values of $-1$ and 1 prevents the numerical solution reaching these singular values, so that the numerical scheme is always well-defined as long as the numerical solution stays similarly bounded at the previous time step. Furthermore, an unconditional energy stability of the numerical scheme is derived, without any restriction for the time step size. The unique solvability and the positivity-preserving property for the second order scheme are proved using similar ideas, in which the singular nature of the logarithmic term plays an essential role. For both the first and second order accurate schemes, we are able to derive an optimal rate convergence analysis, which gives the full order error estimate. The case with a non-constant mobility is analyzed as well. We also describe a practical and efficient multigrid solver for the proposed numerical schemes, and present some numerical results, which demonstrate the robustness of the numerical schemes.

研究动机与目标

• 开发针对具有对数 Flory-Huggins 能量势的 Cahn-Hilliard 方程的鲁棒数值格式，以保持相变量的物理正性。
• 为一阶与二阶时间格式建立无条件能量稳定性，且无需时间步长限制。
• 通过利用对数势在 ±1 附近的奇异性，证明唯一可解性与正性保持。
• 在 ℓ∞(0,T;H⁻¹ₕ) ∩ ℓ²(0,T;H¹ₕ) 范数下，推导两种格式的最优收敛速率。
• 设计高效的多重网格求解器，并通过数值实验验证格式的有效性。

提出的方法

• 采用一阶时间格式，对对数项与表面扩散项进行隐式处理，对扩张项与迁移率项采用显式更新。
• 采用二阶 BDF 时间格式，对扩张项使用二阶 Adams-Bashforth 外推法，并添加人工 Douglas-Dupont 正则化项以增强稳定性。
• 在均匀结构化笛卡尔网格上采用有限差分空间离散化，并施加周期性边界条件。
• 利用 ln(1±φ) 在 φ=±1 附近的奇异性，防止数值解达到这些值，从而确保对数参数的定义有效性。
• 通过凸-凹分解技术与离散能量耗散分析，推导能量稳定性。
• 采用带有 V-循环平 smoothing 的 FAS 多重网格求解器，以高效求解每时间步的非线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种一阶有限差分格式，在确保无条件能量稳定的同时，保持 1+φ 与 1−φ 的正性？
• RQ2 对数势的奇异性是否能自然防止数值解达到 φ=±1，从而保证适定性？
• RQ3 带有人工正则化的二阶 BDF 格式是否能实现类似的正性与能量稳定性特性？
• RQ4 所提格式在相关离散范数下的最优收敛速率是多少？
• RQ5 多重网格求解器在处理格式产生的非线性系统时，其效率与鲁棒性如何？

主要发现

• 一阶格式通过 ±1 附近对数势的奇异性，实现了无条件能量稳定，并唯一保持了对数参数的正性。
• 带有人工正则化的二阶 BDF 格式保持了唯一可解性与正性保持，其理论依据同样依赖于对数势在 ±1 附近的奇异性行为。
• 两种格式在 ℓ∞(0,T;H⁻¹ₕ) ∩ ℓ²(0,T;H¹ₕ) 范数下均证明了 O(Δt + h²) 的最优收敛速率。
• 数值结果证实了格式的鲁棒性与高效性，其中 BDF2 格式表现出更优的精度，且多重网格求解器每时间步平均迭代约 3.5 次 V-循环。
• 在所有格式与模拟中，最大相变量 φ 值始终低于 0.9967，证实了强正性保持。
• 即使缺乏理论证明，如后向欧拉等全隐格式在实践中也表现出正性保持，表明该机制具有更广泛的应用潜力。