[论文解读] Possibility Semantics

Wesley H. Holliday|arXiv (Cornell University)|May 10, 2024

Semantic Web and Ontologies被引用 4

一句话总结

本文引入可能性语义学作为经典逻辑与模态逻辑语义学的推广，以偏序集或UV-空间中的正规开集表示的局部‘可能性’取代传统的‘可能世界’。该研究建立了一个基于对偶性的框架，避免了对选择公理的依赖，支持非素性与非完全可能性，并为经典逻辑、模态逻辑与直觉逻辑提供了构造性更强、更丰富的语义，克服了传统方法在完备性与非构造性方面的局限。

ABSTRACT

In traditional semantics for classical logic and its extensions, such as modal logic, propositions are interpreted as subsets of a set, as in discrete duality, or as clopen sets of a Stone space, as in topological duality. A point in such a set can be viewed as a "possible world," with the key property of a world being primeness--a world makes a disjunction true only if it makes one of the disjuncts true--which classically implies totality--for each proposition, a world either makes the proposition true or makes its negation true. This chapter surveys a more general approach to logical semantics, known as possibility semantics, which replaces possible worlds with possibly partial "possibilities." In classical possibility semantics, propositions are interpreted as regular open sets of a poset, as in set-theoretic forcing, or as compact regular open sets of an upper Vietoris space, as in the recent theory of "choice-free Stone duality." The elements of these sets, viewed as possibilities, may be partial in the sense of making a disjunction true without settling which disjunct is true. We explain how possibilities may be used in semantics for classical logic and modal logics and generalized to semantics for intuitionistic logics. The goals are to overcome or deepen incompleteness results for traditional semantics, to avoid the nonconstructivity of traditional semantics, and to provide richer structures for the interpretation of new languages.

研究动机与目标

• 为克服传统可能世界语义学中对选择公理的非构造性依赖，特别是在构造素滤子与原子时的依赖。
• 通过以非完全、可细化的‘可能性’取代完全、素性的可能世界，推广经典与模态逻辑的语义学。
• 利用偏序集与上维特里斯空间中的正规开集，建立统一的、基于对偶性的逻辑语义框架，支持为新型逻辑语言构建更丰富的结构。
• 将该方法扩展至直觉逻辑与信息逻辑，提供支持非分配性与非经典推理的语义。
• 在新语义下建立一阶逻辑与模态逻辑的完备性结果，尤其在标准语义失效的情境中（如可证明性逻辑）。

提出的方法

• 将命题表示为可能性偏序集中的正规开集，其中序关系 $\sqsubseteq$ 编码信息的细化。
• 基于细化的语义定义逻辑联结词的真值：可能性 $x$ 满足 $\neg\varphi$ 当且仅当 $x$ 的任何细化都不满足 $\varphi$；$x$ 满足 $\varphi \vee \psi$ 当且仅当 $x$ 的每个细化都存在一个进一步的细化，使其满足 $\varphi$ 或 $\psi$ 之一。
• 利用完全布尔代数与上维特里斯空间（UV-空间）之间的对偶性，将紧致正规开集作为命题建模，实现无需选择公理的构造。
• 引入可及性游戏 $\mathrm{G}(S,\sqsubseteq,R,x,y)$ 以刻画模态可及关系，其获胜条件基于可能性的相容性或细化。
• 通过 $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ 条件定义强可能性框架，确保 $xRy$ 成立当且仅当玩家 E 在游戏 $\underline{\mathrm{G}}(S,\sqsubseteq,R,x,y)$ 中有必胜策略。
• 建立全框架与主框架之间，以及完全 $\mathcal{V}$-BAO 之间的对偶等价，将可能性语义学与典范扩张及麦克奈尔完成联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过用部分可能性取代素滤子与原子，发展一种避免选择公理的类经典逻辑语义？
• RQ2 在可能性无需为完全或素性的情况下，析取与否定应如何重新解释？
• RQ3 细化序 $\sqsubseteq$ 在非经典、部分设定中定义逻辑联结词真值条件时起什么作用？
• RQ4 可能性语义能否在标准Kripke语义失效的情境下（如可证明性逻辑），为一阶逻辑与模态逻辑提供完备性结果？
• RQ5 博弈论可及性条件 $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ 如何刻画可能性框架中有效模态可及关系？

主要发现

• 可能性语义学以偏序集或UV-空间中的部分可能性取代经典可能世界，允许命题为真而不必确定析取项或真值，从而避免了素性与完全性要求。
• $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ 条件刻画了强可能性框架，确保模态可及关系与玩家 E 在游戏 $\underline{\mathrm{G}}$ 中的必胜策略完全对应。
• 一阶逻辑在可能性语义下保持完备性，即使在标准Kripke语义因世界不完备而失效的情况下亦然。
• 该框架通过用正规开集替代原子与素滤子，在构造性设定中支持非构造性结果，消除了对选择公理的依赖。
• 建立了全框架与主框架之间，以及完全 $\mathcal{V}$-BAO 之间的对偶等价，将可能性语义学与典范扩张及麦克奈尔完成联系起来。
• 该方法可推广至直觉逻辑与信息逻辑，提供支持非分配性与信息驱动推理的语义。