[论文解读] Possible fluid interpretation and tidal force equation on a generic null hypersurface in Einstein-Cartan theory

Sumit Dey, Bibhas Ranjan Majhi|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 75被引用 5

一句话总结

本文推导了潮汐力方程，并在爱因斯坦-嘉当理论中，对任意类光超曲面上哈吉切克1-形式的动力学演化提出了流体类比解释。通过将ECKS场方程投影到类光面上，并在适应坐标系和局部惯性系中分析剪切张量的李导数，表明其演化方程类似于具有非对称应力与自旋贡献的广义科瑟特流体模型，为具有挠率的时空中的引力提供了流体类比。

ABSTRACT

The dynamical evolution of the Hajicek $1$-form is derived in Einstein-Cartan (EC) theory. We find that like Einstein theory of gravity, the evolution equation is related to a projected part of the Einstein tensor $(\hat{G}_{ab})$ on a generic null surface $\mathcal{H}$, particularly $\hat{G}_{ab}l^a q^b_{~c}$, where $l^a$ and $q^a_{~c}$ are the outgoing null generators of $\mathcal{H}$ and the induced metric to a transverse spatial cross-section of $\mathcal{H}$ respectively. Under the {\it geodesic constraint} a possible fluid interpretation of this evolution equation is then proposed. We find that it has the structure which is reminiscent to the {\it Cosserat generalization} of the Navier-Stokes fluid provided we express the dynamical evolution equation of the Hajicek $1$-form in a set of coordinates adapted to $\mathcal{H}$ and in a local inertial frame. An analogous viewpoint can also be built under the motive that the usual material derivative for fluids should be replaced by the Lie derivative. Finally, the tidal force equation in EC theory on the null surface is also derived.

研究动机与目标

• 研究爱因斯坦-嘉当理论中的引力场方程是否在任意类光超曲面上允许流体类比解释。
• 在非零挠率的黎曼-嘉当时空中，推导类光超曲面上的潮汐力方程。
• 探索投影的ECKS方程与广义连续介质力学之间的联系，特别是科瑟特流体动力学。
• 通过使用适应坐标系和局部惯性系，建立几何演化方程与流体类动力学之间的对应关系。
• 考察李导数在流体类比框架中作为标准物质导数的替代形式的作用。

提出的方法

• 利用在任意类光超曲面H上的投影爱因斯坦-嘉当-基布尔-西阿马（ECKS）场方程，推导哈吉切克1-形式的动力学演化方程。
• 使用类光生成元la和横向空间度量qab，将ECKS张量ˆGab投影到类光面上，重点关注ˆGablaqb c。
• 对形变率张量ˆχij进行不可约分解，分离出膨胀、剪切和涡度部分，特别提取对称无迹剪切分量(l,d)σij。
• 在适应类光超曲面的坐标系和加速的局部惯性系中表达演化方程，以揭示其流体类结构。
• 用沿类光生成元l的李导数替代标准物质导数，将流体类比推广至非对称应力与自旋张量。
• 通过将剪切张量的李导数与曲率及挠率贡献相等，推导出潮汐力方程，最终以威爾张量和挠率修正的里奇分量表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦-嘉当理论中，类光超曲面上哈吉切克1-形式的动力学演化是否可解释为流体类系统？
• RQ2 在爱因斯坦-嘉当理论中，时空挠率的引入如何改变其与广义相对论相比的流体类比？
• RQ3 在非零挠率的黎曼-嘉当时空中，任意类光超曲面上的潮汐力方程具有何种形式？
• RQ4 沿类光生成元的李导数在多大程度上可作为该流体类比中物质导数的合适推广？
• RQ5 在存在自旋与挠率的情况下，投影的ECKS方程能否重述为类似于科瑟特广义纳维-斯托克斯方程的形式？

主要发现

• 在适应坐标系和局部惯性系中表达时，爱因斯坦-嘉当理论中类光超曲面上剪切张量(l,d)σij的演化方程在结构上类似于广义科瑟特纳维-斯托克斯方程。
• 潮汐力方程被推导为一个动力学方程，涉及剪切张量的李导数，通过将黎曼张量分解为威爾部分和挠率修正的里奇部分，明确分离了曲率与挠率贡献。
• 挠率的存在在演化方程中引入了额外项，包括自旋连接与挠率张量的贡献，从而修改了标准的流体类动力学。
• 方程(C.29)明确将剪切张量的李导数与膨胀标量、剪切及挠率项联系起来，威爾张量与挠率项最终出现在潮汐力方程(6.3)中。
• 推导表明，标准物质导数自然地被沿类光生成元l的李导数所取代，这对在流体类比中保持协变性与一致性至关重要。
• 最终的潮汐力方程(6.3)通过将表达式(C.32)与(C.29)和(C.31)中的曲率与挠率项相等而获得，形成一个完全协变的表达式，包含威爾张量与挠率修正的里奇分量。