[论文解读] Post-composition transforms of totally positive kernels

Alexander C. R. Belton, Dominique Guillot+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文对在各种类别的核上保持完全非负性和完全正性的后复合函数进行了分类，表明此类函数必须为线性函数（完全非负性情况下为常数）。这些结果源自矩阵填充定理、通过与调制高斯核的离散卷积对惠特尼密度定理的扩展，以及对连续Hankel核和Polya频率族等结构化核的调和分析。

ABSTRACT

The composition operators preserving total non-negativity and total positivity for various classes of kernels are classified, following three themes. Letting a function act by post composition on kernels with arbitrary domains, it is shown that such a composition operator maps the set of totally non-negative kernels to itself if and only if the function is constant or linear, or just linear if it preserves total positivity. Symmetric kernels are also discussed, with a similar outcome. These classification results are a byproduct of two matrix-completion results and the second theme: an extension of A.M. Whitney's density theorem from finite domains to subsets of the real line. This extension is derived via a discrete convolution with modulated Gaussian kernels. The third theme consists of analyzing, with tools from harmonic analysis, the preservers of several families of totally non-negative and totally positive kernels with additional structure: continuous Hankel kernels on an interval, Polya frequency functions, and Polya frequency sequences. The rigid structure of post-composition transforms of totally positive kernels acting on infinite sets is obtained by combining several specialized situations settled in our present and earlier works.

研究动机与目标

• 对在任意定义域上与核进行后复合时保持完全非负性的函数进行分类。
• 通过与调制高斯核的离散卷积，将A.M.惠特尼的密度定理从有限定义域扩展至实直线的子集。
• 分析结构化完全非负和完全正核的保持函数，包括连续Hankel核、Polya频率函数和序列。
• 通过统一特定核族的成果，建立作用于无限集的后复合变换的严格结构约束。
• 通过结合矩阵填充和调和分析技术的结果，对这类变换进行全面分类。

提出的方法

• 利用矩阵填充定理来刻画在后复合下被保持的核的结构。
• 通过与调制高斯核的离散卷积，将惠特尼密度定理扩展至实直线的子集。
• 运用调和分析工具研究区间上连续Hankel核和Polya频率函数的保持函数。
• 利用生成函数和矩方法分析Polya频率序列，以识别其结构约束。
• 结合多个特定核族的成果，推导出无限定义域核的统一分类。
• 依赖泛函分析方法，刻画后复合函数的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些函数在与定义在任意定义域上的核进行后复合时保持完全非负性？
• RQ2 哪些函数在相同后复合操作下保持完全正性？
• RQ3 如何通过与调制高斯核的卷积，将惠特尼密度定理从有限定义域扩展至实直线的子集？
• RQ4 作用于区间上的连续Hankel核的后复合变换具有何种结构约束？
• RQ5 调和分析工具如何刻画Polya频率函数和序列的保持函数？

主要发现

• 当且仅当函数为常数或线性函数时，后复合函数才能保持核的完全非负性。
• 对于完全正性，唯一满足条件的函数是线性函数（不包括常数）。
• 通过与调制高斯核的离散卷积，实现了惠特尼密度定理向实直线子集的扩展。
• Hankel、Polya频率和序列族的联合分析，严格约束了无限集上后复合变换的结构。
• 矩阵填充结果提供了支撑保持函数分类的基础性约束。
• 调和分析工具成功识别并刻画了保持结构化完全正性和非负性核的函数形式。