[论文解读] Post-critically finite self-similar groups

Ievgen Bondarenko, Volodymyr Nekrashevych|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 18

一句话总结

本文建立了后临界有限（p.c.f.）自相似极限空间与由有界自动机生成的自相似群之间的精确对应关系。通过自动机理论分析状态环路与活动增长，证明了自相似群是收缩群且其极限空间为p.c.f.，当且仅当其为有界自动机群的子群。

ABSTRACT

We describe in terms of automata theory the automatic actions with post-critically finite limit space. We prove that these actions are precisely the actions by bounded automata and that any self-similar action by bounded automata is contracting.

研究动机与目标

• 澄清后临界有限（p.c.f.）自相似分形（在分形上的调和分析中使用）与作用在根树上的自相似群之间的联系。
• 使用自动机理论工具，表征其极限空间为p.c.f.的自相似群。
• 证明此类群恰好是生成于有界自动机的群，并且它们是收缩群。
• 建立有界自动机的有限生成子群中的字问题可在多项式时间内求解。

提出的方法

• 使用自动机理论通过Moore图和转移/输出函数对自相似群作用进行建模。
• 将有界自动机定义为状态转移图中具有有限个不相交非平凡环路的自动机。
• 使用记号 $ g|_v $ 和 $ g(v) $ 分析群元素的活动增长与限制结构，其中 $ g|_v $ 表示在读取字 $ v $ 后所到达的状态。
• 通过 $ l_1(g) $-范数（在字分解中非有限性状态的数量）进行归纳，证明所有高层限制 $ g|_v $ 最终会落入有限核中。
• 证明此类群的核是有限的，并且包含在有限限制集合中，从而表明其具有收缩性。
• 利用环路结构的周期性（周期为 $ n_1 $）证明核中所有无限左无穷路径最终是周期性的，因此数量有限——从而证明极限空间为p.c.f.。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，自相似群作用的极限空间是后临界有限的？
• RQ2 具有p.c.f.极限空间的群的精确自动机理论表征是什么？
• RQ3 有界自动机与收缩群及其核之间有何关系？
• RQ4 有界自动机子群中的字问题能否高效求解？
• RQ5 状态转移图的哪些结构性质（例如，环路结构）能保证极限空间的p.c.f.性质？

主要发现

• 自相似群是收缩群当且仅当其由具有有界环路结构的有限自动机生成。
• 自相似群的极限空间为后临界有限当且仅当该群是群 $ \beta $ 中有界自动机的子群。
• 所有自相似群在 $ \beta $ 中的子群都是收缩群，且其核是有限的，包含在有限限制集合中。
• 此类群的极限空间为p.c.f.，因为核中所有无限左无穷路径最终是周期性的，且数量有限。
• 任何有界自动机的有限生成子群中的字问题均可在多项式时间内求解。
• 由有界自动机生成的收缩群的核包含在集合 $ \{ g|_v : g \in \mathcal{N}_1, |v| < n_1 \} $ 中，其中 $ \mathcal{N}_1 $ 是具有自引用限制的有限状态集合。