[论文解读] Post-Lie Algebra Structure of Manifolds with Constant Curvature and Torsion

Erlend Grong, Hans Munthe–Kaas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2023

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文在具有平行曲率和挠率的仿射联络流形上，建立了向量场与仿射联络的全纯李代数自同态直和上的后李代数结构。通过将联络提升至具有平坦联络的标架丛，作者将后李代数框架从平坦情形推广至非平坦情形，从而利用泛包络代数方法实现曲流形上常微分方程的几何数值积分。

ABSTRACT

For a general affine connection with parallel torsion and curvature, we show that a post-Lie algebra structure exists on its space of vector fields, generalizing previous results for flat connections. However, for non-flat connections, the vector fields alone are not enough, as the presence of curvature also necessitates that we include endomorphisms corresponding to infinitesimal actions of the holonomy group. We give details on the universal Lie algebra of this post-Lie algebra and give applications for solving differential equations on manifolds.

研究动机与目标

• 将后李代数结构从平坦联络推广至具有平行曲率与挠率的非平坦流形。
• 通过引入全息李代数的自同态，解决在非平坦情形下仅靠向量场无法支持后李代数结构的局限性。
• 在向量场与全息自同态空间上构建一个通用的后李代数结构。
• 为利用几何数值积分方法求解流形上的微分方程提供一个框架。
• 将现有的几何积分中后李代数方法推广至具有非零曲率的局部齐性空间。

提出的方法

• 将带有仿射联络的流形提升至配备平坦联络的标架丛。
• 利用协变导数与李括积，在向量场与全息自同态的直和上定义后李代数结构。
• 利用联络指数映射与平行移动定义冻结向量场，以实现时间有序积分。
• 构造后李代数的泛包络代数，以建模时间有序指数。
• 将后李代数结构应用于通过联络指数与时间有序运算求解常微分方程。
• 利用标架丛的群结构，将后李代数实现为在标架丛上的李群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将后李代数结构扩展至具有非零、平行曲率与挠率的流形？
• RQ2 为何在非平坦情形下仅靠向量场不足以支持后李代数结构？
• RQ3 如何将全息群的无穷小作用整合进后李代数框架？
• RQ4 标架丛在实现非平坦联络的后李代数结构中起什么作用？
• RQ5 如何利用后李代数结构通过几何积分方法求解曲流形上的常微分方程？

主要发现

• 对于具有平行曲率与挠率的流形，向量场与全息自同态的直和上存在后李代数结构。
• 括积运算推广了向量场的李括积，并通过黎曼曲率张量与挠率张量引入了曲率与挠率的影响。
• 联络指数与平行移动使得冻结向量场得以定义，从而实现在曲流形上的时间有序积分。
• 后李代数的泛包络代数捕捉了向量场的时间有序指数，这对几何数值积分至关重要。
• 该构造将平坦联络结果推广至具有平行曲率与挠率的非平坦、局部齐性空间。
• 该方法通过联络指数与标架丛提升，实现了利用后李代数结构求解流形上的常微分方程。