[论文解读] Posterior consistency for $n$ in the binomial $(n,p)$ problem with both parameters unknown - with applications to quantitative nanoscopy

Laura Fee Schneider, Johannes Schmidt-Hieber+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 50被引用 4

一句话总结

本文在 $p \to 0$ 且 $n \to \infty$ 的渐近框架下，当 $n$ 和 $p$ 均未知时，建立了对二项分布总体大小 $n$ 的后验一致性以及 Bernstein-von Mises 定理。研究提出了一类新的贝叶斯估计量来估计 $n$，并在模拟实验和超分辨率纳米显微成像的实际应用中展示了其优异性能。

ABSTRACT

Estimation of the population size $n$ from $k$ i.i.d. binomial observations with unknown success probability $p$ is relevant to a multitude of applications and has a long history. Without additional prior information this is a notoriously difficult task when $p$ becomes small, and the Bayesian approach becomes particularly useful. For a large class of priors, we establish posterior contraction and a Bernstein-von Mises type theorem in a setting where $p ightarrow0$ and $n ightarrow\infty$ as $k o\infty$. Furthermore, we suggest a new class of Bayesian estimators for $n$ and provide a comprehensive simulation study in which we investigate their performance. To showcase the advantages of a Bayesian approach on real data, we also benchmark our estimators in a novel application from super-resolution microscopy.

研究动机与目标

• 解决在 $n$ 和 $p$ 均未知且 $p$ 较小时估计二项分布$(n,p)$总体大小 $n$ 的挑战性问题。
• 在 $p \to 0$ 且 $n \to \infty$ 的渐近框架下，建立理论保证——后验收缩率与类似 Bernstein-von Mises 的结果，其中样本量 $k \to \infty$。
• 提出一类对低 $p$ 场景具有鲁棒性的新贝叶斯估计量 $n$。
• 通过全面的模拟实验和超分辨率显微成像中的实际应用，评估这些估计量的性能。

提出的方法

• 作者考虑了 $n$ 和 $p$ 的一大类先验分布，并在联合渐近框架 $p \to 0$、$n \to \infty$、$k \to \infty$ 下推导了后验收缩率。
• 建立了类似 Bernstein-von Mises 的定理，表明在正则性条件下，$n$ 的后验分布以参数速率集中在真实值附近。
• 提出了一类新颖的客观贝叶斯估计量，旨在适应 $p$ 较小时观测值的稀疏性。
• 通过使用分层先验构建估计量，以在高维稀疏设定下对 $n$ 的估计进行正则化。
• 通过模拟研究支持理论结果，比较了新估计量与现有方法在偏差、方差和均方误差方面的表现。
• 将该方法应用于真实超分辨率显微成像数据，其中必须从稀疏且噪声较大的成像数据中推断可检测分子的数量（$n$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 和 $p$ 均未知且 $p \to 0$ 时，$n$ 的后验分布在什么条件下会收缩到真实值？
• RQ2 在 $p \to 0$ 且 $n \to \infty$ 的稀疏情形下，是否可以为二项分布$(n,p)$模型建立 Bernstein-von Mises 定理？
• RQ3 在低 $p$ 条件下，所提出的 $n$ 的贝叶斯估计量与现有方法相比，在频派性能上表现如何？
• RQ4 在真实世界的超分辨率显微成像数据中，新估计量的实证表现如何？

主要发现

• 当 $p \to 0$ 且 $n \to \infty$ 时，对于一大类先验分布，$n$ 的后验收缩性得以建立，表明后验分布能可靠地集中在真实 $n$ 值附近。
• 在稀疏情形下，类似 Bernstein-von Mises 的定理成立，意味着 $n$ 的后验分布渐近正态，且方差与 Fisher 信息矩阵的逆匹配。
• 模拟结果表明，所提出的贝叶斯估计量在模拟中表现优异，尤其在 $p$ 较小的场景下，传统频派估计量常失效。
• 在真实超分辨率显微成像应用中，新估计量表现出鲁棒性和高精度，成功从稀疏成像数据中恢复了荧光分子的数量。
• 模拟结果证实，即使 $p$ 极小且 $n$ 极大，这些估计量仍能实现低偏差和低均方误差。
• 纳米显微成像的应用展示了该贝叶斯框架在定量生物成像中的实际应用价值。