[论文解读] Potential automorphy over CM fields

Patrick B. Allen, Frank Calegari+8 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 10

一句话总结

该论文在不施加自对偶性条件的前提下，针对CM域上的正则n维伽罗瓦表示，建立了无条件的模形式提升定理，采用导出Ihara避免技术与局部整体相容性结果。证明了所有CM域上的椭圆曲线均为潜在模形式，并满足Sato–Tate猜想，且确认了CM域上GL2的权为零的尖点自守表示的Ramanujan猜想。

ABSTRACT

Let $F$ be a CM number field. We prove modularity lifting theorems for regular $n$-dimensional Galois representations over $F$ without any self-duality condition. We deduce that all elliptic curves $E$ over $F$ are potentially modular, and furthermore satisfy the Sato--Tate conjecture. As an application of a different sort, we also prove the Ramanujan Conjecture for weight zero cuspidal automorphic representations for $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$.

研究动机与目标

• 在不需自对偶性条件的前提下，建立CM域上正则n维伽罗瓦表示的模形式提升定理。
• 证明所有CM域上的椭圆曲线均为潜在模形式，并满足Sato–Tate猜想。
• 建立GL2(AF)上权为0的正则代数尖点自守表示的Ramanujan猜想。
• 发展并应用一种导出版本的Ihara避免技术，以避免对算术群模p上同调的消失猜想的依赖。
• 在CM域上，对Fontaine–Laffaille与普通情形下的伽罗瓦表示证明局部整体相容性。

提出的方法

• 利用算术局部对称空间与非紧致Shimura簇的上同调，建立在Caraiani–Scholze工作的基础之上。
• 通过[Sch15]中的原始构造，对l ≠ p建立局部整体相容性；对l = p则通过边界上同调中的度数转移论证实现。
• 应用Hida理论与P-进诱导的普通部分，处理l = p情形下的普通情况。
• 引入一种导出版本的Ihara避免技术，同时推广[Tay08]与[KT17]，使得在不假设模p上同调消失猜想的前提下实现自守性提升。
• 使用超小 patching 技术构造伽罗瓦表示，并在Fontaine–Laffaille与普通情形下证明自守性提升定理。
• 将主定理应用于伽罗瓦表示的对称幂，并利用Rankin–Selberg界推导出测地性与Ramanujan猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加自对偶性条件的前提下，为CM域上n维正则伽罗瓦表示建立模形式提升定理？
• RQ2 在CM域上的Fontaine–Laffaille与普通情形下，对l = p的伽罗瓦表示，局部整体相容性在多大程度上可被证明？
• RQ3 能否在不依赖Deligne纯性定理的前提下，为CM域上GL2(AF)的权为零尖点自守表示建立Ramanujan猜想？
• RQ4 能否在自守性提升定理中绕过算术群模p上同调的消失猜想？
• RQ5 所有CM域上的椭圆曲线是否均为潜在模形式，且是否满足Sato–Tate猜想？

主要发现

• 所有CM数域上的椭圆曲线均为潜在模形式，其对称幂亦为潜在模形式。
• 由于潜在模性，Sato–Tate猜想对所有CM域上的椭圆曲线成立。
• 证明了GL2(AF)上权为0的正则代数尖点自守表示的Ramanujan猜想，表明在所有非分歧素点v处πv为测地性。
• 该论文首次在不施加自对偶性条件的前提下，为CM域上n维正则伽罗瓦表示建立了无条件模形式提升定理。
• 发展并应用了一种导出Ihara避免技术，使得在不假设模p上同调消失猜想的前提下实现自守性提升。
• 在Fontaine–Laffaille与普通情形下，对l = p建立了局部整体相容性，将先前结果推广至一般CM域与高维表示。