[论文解读] Potential Maximal Cliques Parameterized by Edge Clique Cover.

Tuukka Korhonen|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 3

一句话总结

本论文提出了针对基本图问题（如树宽、最小填充和反馈顶点集）的参数化算法，以最小边团覆盖（cc）的大小作为参数。研究表明，潜在最大团的数量被限制在$3^{cc}$以内，从而实现$O^*(3^{cc})$时间复杂度的算法，并在给定大小为$cc'$的边团覆盖时进一步优化至$O^*(2^{cc'})$，进而为完美演化树问题提供$O^*(2^n)$时间复杂度的算法。

ABSTRACT

Many graph problems can be formulated as a task of finding an optimal triangulation of a given graph with respect to some notion of optimality. In this paper we give algorithms to such problems parameterized by the size of a minimum edge clique cover ($cc$) of the graph. The parameter $cc$ is both natural and well-motivated in many problems on this setting. For example, in the perfect phylogeny problem $cc$ is at most the number of taxa, in fractional hypertreewidth $cc$ is at most the number of hyperedges, and in treewidth of Bayesian networks $cc$ is at most the number of non-root nodes of the Bayesian network. Our results are based on the framework of potential maximal cliques. We show that the number of minimal separators of graphs is at most $2^{cc}$ and the number of potential maximal cliques is at most $3^{cc}$. Furthermore, these objects can be listed in times $O^*(2^{cc})$ and $O^*(3^{cc})$, respectively, even when no edge clique cover is given as input; the $O^*(\cdot)$ notation omits factors polynomial in the input size. Using these enumeration algorithms we obtain $O^*(3^{cc})$ time algorithms for problems in the potential maximal clique framework, including for example treewidth, minimum fill-in, and feedback vertex set. We also obtain an $O^*(3^m)$ time algorithm for fractional hypertreewidth, where $m$ is the number of hyperedges. In the case when an edge clique cover of size $cc'$ is given as an input we further improve the time complexity to $O^*(2^{cc'})$ for treewidth, minimum fill-in, and chordal sandwich. This implies an $O^*(2^n)$ time algorithm for perfect phylogeny, where $n$ is the number of taxa. We also give polynomial space algorithms with time complexities $O^*(9^{cc'})$ and $O^*(9.001^{cc})$ for problems in this framework.

研究动机与目标

• 通过以最小边团覆盖（cc）的大小作为参数，解决树宽和最小填充等图问题的计算复杂性。
• 通过利用具有小边团覆盖的图的结构特性，降低潜在最大团框架下问题求解的时间复杂度。
• 在cc参数下，为最小割集和潜在最大团开发高效的枚举与算法技术。
• 为特定应用（如完美演化树和分数超树宽）提供改进的算法，并给出可证明更优的时间界限。
• 实现多项式空间解法，同时提升时间复杂度，例如对核心问题实现$O^*(9^{cc'})$和$O^*(9.001^{cc})$的时间复杂度。

提出的方法

• 利用潜在最大团的框架，将图问题重新表述为在这些结构上的优化任务。
• 证明图中最小割集的数量至多为$2^{cc}$，潜在最大团的数量至多为$3^{cc}$，其依据是边团覆盖的大小。
• 设计一种算法，可在$O^*(3^{cc})$时间内列出所有潜在最大团，即使未提供输入的边团覆盖。
• 当作为输入提供大小为$cc'$的边团覆盖时，通过采用更高效的枚举策略，将时间复杂度优化至$O^*(2^{cc'})$。
• 将枚举结果应用于求解树宽、最小填充和弦图填充等问题，时间复杂度为$O^*(2^{cc'})$，前提是提供边团覆盖。
• 设计出时间复杂度为$O^*(9^{cc'})$和$O^*(9.001^{cc})$的多项式空间算法，实现时间和空间效率的平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在以最小边团覆盖大小为参数的图中，最小割集和潜在最大团的最大数量是多少？
• RQ2 是否可以在不依赖边团覆盖作为输入的前提下，以$O^*(3^{cc})$的时间复杂度高效枚举潜在最大团？
• RQ3 当存在大小为$cc'$的边团覆盖时，其对计算树宽及相关图参数的时间复杂度有何影响？
• RQ4 能否为潜在最大团框架中的问题设计出具有改进时间复杂度的多项式空间算法？
• RQ5 cc参数对特定应用（如完美演化树和分数超树宽）有何影响？

主要发现

• 任何图中最小割集的数量至多为$2^{cc}$，其中$cc$为最小边团覆盖的大小。
• 潜在最大团的数量至多为$3^{cc}$，且可在不依赖输入边团覆盖的前提下，以$O^*(3^{cc})$的时间复杂度完成枚举。
• 当提供大小为$cc'$的边团覆盖时，树宽、最小填充和弦图填充问题的时间复杂度可降低至$O^*(2^{cc'})$。
• 对于完美演化树问题，可获得$O^*(2^n)$时间复杂度的算法，其中$n$为分类单元的数量，因为在该情境下$cc \to n$。
• 开发出时间复杂度为$O^*(9^{cc'})$和$O^*(9.001^{cc})$的多项式空间算法，实现了时间和空间效率之间的权衡。
• 该框架可为分数超树宽问题提供$O^*(3^m)$时间复杂度的算法，其中$m$为超边的数量，通过将$m$与边团覆盖大小关联实现。