[论文解读] Potential quantum advantage for simulation of fluid dynamics

Xiangyu Li, Xiaolong Yin+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2023

Lattice Boltzmann Simulation Studies被引用 19

一句话总结

本文认为，通过对 Navier–Stokes 的晶格玻尔兹曼形式进行 Carleman 线性化，量子算法有潜在实现指数级加速的可能，并给出低阶线性化的准确性证据以及成本随系统规模的对数级缩放。

ABSTRACT

Numerical simulation of turbulent fluid dynamics needs to either parameterize turbulence-which introduces large uncertainties-or explicitly resolve the smallest scales-which is prohibitively expensive. Here we provide evidence through analytic bounds and numerical studies that a potential quantum exponential speedup can be achieved to simulate the Navier-Stokes equations governing turbulence using quantum computing. Specifically, we provide a formulation of the lattice Boltzmann equation for which we give evidence that low-order Carleman linearization is much more accurate than previously believed for these systems and that for computationally interesting examples. This is achieved via a combination of reformulating the nonlinearity and accurately linearizing the dynamical equations, effectively trading nonlinearity for additional degrees of freedom that add negligible expense in the quantum solver. Based on this we apply a quantum algorithm for simulating the Carleman-linearized lattice Boltzmann equation and provide evidence that its cost scales logarithmically with system size, compared to polynomial scaling in the best known classical algorithms. This work suggests that an exponential quantum advantage may exist for simulating fluid dynamics, paving the way for simulating nonlinear multiscale transport phenomena in a wide range of disciplines using quantum computing.

研究动机与目标

• 激励需要模拟超出经典湍流建模和直接求解 NSE 的湍流流动。
• 提出改写 Boltzmann 方程以降低非线性并实现量子优势。
• 引入 Carleman 线性化将非线性 LBE 转换为线性系统。
• 表明在实际条件下，所得的量子算法能够实现系统规模的对数级缩放。

提出的方法

• 将晶格玻尔兹曼方程（LBE）用作流体动力学的介观描述。
• 通过对 1/ρ 展开并将 fm 重写为 fm 的多项式来处理非线性项。
• 应用 Carleman 线性化将非线性 LBE 映射到通过 f、f[2]、...、f[k] 的无限线性系统，并在次数 k 处截断。
• 构造 n 点 Carleman 线性化的 LBE，其在 x 方向具有对角性以实现高效的量子处理。
• 用适合量子线性系统算法的分块编码矩阵表示线性化系统。
• 分析截断误差和可扩展性，并讨论如何从矩量中恢复宏观量 (ρ, ρu)。

实验结果

研究问题

• RQ1 低阶 Carleman 线性化是否能为弱压缩流（Ma ≪ 1）提供准确的宏观流量（ρ, ρu）？
• RQ2 带 Carleman 线性化的晶格玻尔兹曼方程是否存在一种成本随系统规模 N 的对数级缩放的量子算法？
• RQ3 截断 Carleman 次序 k 对准确性和推导出的宏观可观测量有何影响？
• RQ4 在何种条件下，通过 LBE 对多尺度流体动力学进行模拟可以实现相对于最佳经典方法的量子加速？

主要发现

• Carleman 截断对 ρ 和 ρu 的修正被 O(Ma^2) 抑制，表明在低 Ma 下近似可控。
• 宏观流体性质遵循一个等级结构，其中高阶修正相对于保留项被 O(Ma^2) 的因子抑制。
• n 点 Carleman LBE 为线性且在 Carleman 次序上呈对角结构，便于高效的量子寻根求解访问。
• 针对 Carleman 线性化 LBE 的量子算法显示成本随系统规模 N 成对数缩放，而在经典下为多项式级缩放的证据。
• 总的来说，结果表明用于模拟流体动力学中非线性多尺度输运现象的量子优势可能达到指数级。
• 该分析被构建为指示如何在量子计算机上利用 LBE 和 Carleman 线性化使湍流仿真变得可处理。