[论文解读] Potential Singularity Formation of 3D Axisymmetric Navier-Stokes Equations with Degenerate Variable Diffusion Coefficients.

Thomas Y. Hou, De Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文提供了数值证据，表明在具有退化、可变扩散系数的3D轴对称Navier-Stokes方程中，原点处可能形成有限时间、局部自相似奇点，其由产生双尺度行波的反对称涡偶极子驱动。该奇点源于涡拉伸的非线性对齐，且在具有有限能量的光滑初值下，通过正反馈回路得以稳定。

ABSTRACT

In this paper, we present strong numerical evidences that the $3$D incompressible axisymmetric Navier-Stokes equations with degenerate diffusion coefficients and smooth initial data of finite energy develop a potential finite time locally self-similar singularity at the origin. The spatial part of the degenerate diffusion coefficient is a smooth function of $r$ and $z$ independent of the solution and vanishes like $O(r^2)+O(z^2)$ near the origin. This potential singularity is induced by a potential singularity of the $3$D Euler equations. An important feature of this potential singularity is that the solution develops a two-scale traveling wave that travels towards the origin. The two-scale feature is characterized by the property that the center of the traveling wave approaches the origin at a slower rate than the rate of the collapse of the singularity. The driving mechanism for this potential singularity is due to two antisymmetric vortex dipoles that generate a strong shearing layer in both the radial and axial velocity fields. Without the viscous regularization, the $3$D Euler equations develop an additional small scale characterizing the thickness of the sharp front. On the other hand, the Navier-Stokes equations with a constant diffusion coefficient regularize the two-scale solution structure and do not develop a finite time singularity for the same initial data. The initial condition is designed in such a way that it generates a positive feedback loop that enforces a strong nonlinear alignment of vortex stretching, leading to a stable locally self-similar blowup at the origin. We perform careful resolution study and asymptotic scaling analysis to provide further support of the potential finite time locally self-similar blowup.

研究动机与目标

• 研究3D轴对称Navier-Stokes方程中的退化扩散系数是否即使在光滑初值下仍可导致有限时间奇点。
• 理解可变扩散的作用，特别是其在原点附近趋于O(r²) + O(z²)时，如何促成奇点形成。
• 探讨反对称涡偶极子如何生成剪切层，从而驱动非线性对齐并可能导致爆破。
• 将退化扩散下的行为与常数扩散下的行为进行对比，后者通过正则化防止有限时间爆破。
• 通过分辨率研究和渐近标度分析，验证稳定、局部自相似爆破的存在性。

提出的方法

• 对具有空间依赖扩散系数的3D不可压缩轴对称Navier-Stokes方程进行数值模拟，该系数在原点附近趋于O(r²) + O(z²)。
• 采用设计用于在涡拉伸动力学中诱导正反馈回路的光滑初值，且能量有限。
• 实施高分辨率数值格式，以解析逼近原点的双尺度行波结构。
• 通过渐近标度分析验证潜在奇点的局部自相似性，并确认爆破行为。
• 与3D Euler方程的结果进行对比，以分离粘性正则化在奇点形成中的作用。
• 追踪径向和轴向速度场的演化，以识别由反对称涡偶极子形成的强剪切层。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3D轴对称Navier-Stokes方程中，即使初值光滑，退化扩散系数是否仍可导致有限时间、局部自相似奇点？
• RQ2 双尺度行波结构在该类奇点形成中起什么作用？其坍缩速率与波中心趋近原点的速率相比如何？
• RQ3 反对称涡偶极子如何生成剪切层，从而驱动非线性对齐并维持爆破机制？
• RQ4 为何相同初值在常数扩散下无法产生有限时间奇点？在此背景下，粘性正则化起什么作用？
• RQ5 渐近标度分析与分辨率研究在多大程度上支持稳定、自相似爆破剖面的存在？

主要发现

• 具有退化扩散系数的3D轴对称Navier-Stokes方程在原点处表现出潜在的有限时间奇点，该结果通过高分辨率模拟得到证实。
• 该奇点具有局部自相似性，由其中心趋近原点速度慢于波自身坍缩速率的双尺度行波驱动。
• 由初值强制的涡拉伸正反馈回路稳定了爆破过程，并维持了非线性对齐。
• 该奇点机制源于反对称涡偶极子在径向和轴向速度场中生成强剪切层。
• 与常数扩散下正则化解并防止爆破的Navier-Stokes方程相反，退化情况允许奇点形成。
• 渐近标度分析与分辨率研究为潜在奇点的自相似性与稳定性提供了有力证据。