[论文解读] Power Distribution in Randomized Weighted Voting: the Effects of the Quota

Joel Oren, Yuval Filmus+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2014

Game Theory and Voting Systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文分析了在随机加权投票博弈中，权重随机生成时，配额（立法通过的阈值）变化对Shapley值的影响。通过使用均匀分布和指数衰减概率的球与桶模型，研究发现当配额接近 m/n 的倍数时，即使权重几乎相同，Shapley值的差异也可能高达2倍，且完全刻画了超递增权重序列下的Shapley值。

ABSTRACT

We study the Shapley value in weighted voting games. The Shapley value has been used as an index for measuring the power of individual agents in decision-making bodies and political organizations, where decisions are made by a majority vote process. We characterize the impact of changing the quota (i.e., the minimum number of seats in the parliament that are required to form a coalition) on the Shapley values of the agents. Contrary to previous studies, which assumed that the agent weights (corresponding to the size of a caucus or a political party) are fixed, we analyze new domains in which the weights are stochastically generated, modelling, for example, elections processes. We examine a natural weight generation process: the Balls and Bins model, with uniform as well as exponentially decaying probabilities. We also analyze weights that admit a super-increasing sequence, answering several open questions pertaining to the Shapley values in such games.

研究动机与目标

• 研究在代理权重随机生成而非固定时，配额变化对加权投票博弈中Shapley值的影响。
• 通过假设权重通过球与桶过程以均匀或指数衰减概率随机分配，对现实世界选举过程进行建模。
• 在超递增权重序列中，将Shapley值表征为配额的函数，解决先前研究中的开放问题。
• 识别在何种条件下，连续代理在这些博弈中具有相等的Shapley值。
• 证明即使权重几乎相等，配额在临界阈值附近的小幅变化也可能导致权力的巨大差异。

提出的方法

• 使用球与桶过程建模权重生成，其中每个球（选民）根据固定的概率分布独立分配至一个桶（政党）。
• 在均匀和指数衰减概率设置下，分析Shapley值作为配额的函数。
• 识别出Shapley值呈现周期性波动，周期长度为 m/n，其中 m 为总权重，n 为代理数量。
• 利用“临界阈值”概念，分析配额接近 m/n 的小倍数时导致的权力失衡。
• 应用渐近分析和极限定理，推导出无限情况下的Shapley值的闭式表达式。
• 证明Shapley值函数在所有配额值处均从左侧和右侧连续，确保稳定性分析的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理权重随机生成而非固定时，改变配额如何影响Shapley值？
• RQ2 在均匀权重的球与桶模型中，配额接近 m/n 的倍数时，对权力分配有何影响？
• RQ3 能否在超递增权重序列中将Shapley值完全表征为配额的函数？
• RQ4 在超递增博弈中，何种条件下连续代理具有相等的Shapley值？
• RQ5 尽管权重相似，噪声效应和权重波动如何影响权力差异？

主要发现

• 当配额远离 m/n 的小倍数时，所有代理的Shapley值很可能非常接近。
• 若配额接近 m/n 的小倍数，即使权重几乎相同，最高Shapley值也可能约为最低值的两倍。
• 对于指数衰减概率，分析可简化为对超递增权重序列中Shapley值的刻画。
• 本文为超递增序列中的Shapley值提供了关于配额的闭式公式。
• Shapley值函数在所有配额值处均从左和右连续，确保行为稳定。
• 当配额趋近于0或总权重趋于0时，Shapley值的极限确认了在极端情况下权力会消失。