[论文解读] Power Functions over Finite Fields with Low $c$-Differential Uniformity

Haode Yan, Sihem Mesnager+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文研究了有限域上幂函数 $F(x) = x^d$ 的 $c$-微分均匀性，提出了具有低 $c$-微分均匀性的新函数类。证明了黄金指数函数为几乎完美 $c$-非线性，并证实了关于例外准平面幂函数的近期猜想，确立了其 $c$-微分均匀性至多为 4。

ABSTRACT

Very recently, a new concept called multiplicative differential (and the corresponding $c$-differential uniformity) was introduced by Ellingsen extit{et al} in [C-differentials, multiplicative uniformity and (almost) perfect c-nonlinearity, IEEE Trans. Inform. Theory, 2020] which is motivated from practical differential cryptanalysis. Unlike classical perfect nonlinear functions, there are perfect $c$-nonlinear functions even for characteristic two. The objective of this paper is to study power function $F(x)=x^d$ over finite fields with low $c$-differential uniformity. Some power functions are shown to be perfect $c$-nonlinear or almost perfect $c$-nonlinear. Notably, we completely determine the $c$-differential uniformity of almost perfect nonlinear functions with the well-known Gold exponent. We also give an affirmative solution to a recent conjecture proposed by Bartoli and Timpanella in 2019 related to an exceptional quasi-planar power function.

研究动机与目标

• 分析有限域上幂函数 $F(x) = x^d$ 的 $c$-微分均匀性，尤其关注其在提升抗微分密码分析能力方面的应用。
• 识别并表征具有低 $c$-微分均匀性的幂函数，包括完美 $c$-非线性（PcN）和几乎完美 $c$-非线性（APcN）函数。
• 解决 Bartoli 和 Timpanella 最近提出的关于例外准平面幂函数 $c$-微分均匀性的猜想。
• 将 $c$-微分均匀性理论扩展至经典微分均匀性之外，特别是在此前认为不可能存在 PcN 函数的偶特征域中。

提出的方法

• 作者定义了 $c$-导数 $ {}_cD_aF(x) = F(x+a) - cF(x) $，并分析了方程 $ F(x+a) - cF(x) = b $ 在 $ a \neq 0 $ 时的解的数量。
• 他们使用特征和技巧，并基于勒让德符号对 $ \mathrm{GF}(p^n)^\sharp $ 的不同子集进行案例分析，这些子集按 $ x $ 和 $ x+1 $ 的二次特征划分。
• 分析根据 $ c $ 的值、域的特征 $ p $，以及 $ b $ 在 $ \mathrm{GF}(p^n)^* $ 中是否为平方或非平方来区分不同情形。
• 他们应用二次剩余与非剩余的性质，对方程 $ (x+1)^d + x^d = b $ 的解数进行界定，特别是当 $ d = 2^k + 1 $ 时。
• 证明利用了对称性：若 $ x $ 是解，则 $ -x-1 $ 也是解，尤其在 $ d $ 为偶数且 $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 时成立。
• 通过分析四个不相交集合 $ S_{\chi(x), \chi(x+1)} $ 中的解数，建立了 $ {}_c\Delta_F $ 的界，得出当 $ p^n \equiv 1 \text{ 或 } 3 \pmod{4} $ 时，统一的上界为 4。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限域上的幂函数 $ F(x) = x^d $ 展现出低 $c$-微分均匀性，特别是 $c$-微分均匀性为 1 或 2 的情况？
• RQ2 能否在偶特征域中通过幂函数构造完美 $c$-非线性（PcN）或几乎完美 $c$-非线性（APcN）函数？
• RQ3 黄金指数函数 $ x^{2^k + 1} $ 在 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 上的精确 $c$-微分均匀性是多少？
• RQ4 Bartoli 和 Timpanella 提出的例外准平面幂函数是否确实具有至多为 4 的 $c$-微分均匀性？
• RQ5 幂函数的 $c$-微分均匀性如何随 $ c $、域大小和指数 $ d $ 变化，特别是在 $ c \neq 1 $ 时？

主要发现

• 黄金指数函数 $ x^{2^k + 1} $ 在 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 上的 $c$-微分均匀性至多为 4，且对某些 $ c $ 值为几乎完美 $c$-非线性。
• 当 $ p^n \equiv 1 \pmod{4} $ 时，$ d = 2^k + 1 $ 的 $ x^d $ 的 $c$-微分均匀性被限制在 4 以内。
• 当 $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 时，$ d = 2^k + 1 $ 的 $ x^d $ 的 $c$-微分均匀性同样被限制在 4 以内。
• 本文证实了 Bartoli 和 Timpanella 的猜想：例外准平面幂函数的 $c$-微分均匀性至多为 4。
• 作者证明了当 $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 时，$ x^{2^k + 1} $ 在 $ c = -1 $ 下为几乎完美 $c$-非线性（APcN）。
• 本研究确立了在 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 上存在完美 $c$-非线性（PcN）函数，这与经典假设相矛盾，即 PcN 函数仅存在于奇特征域中。