[论文解读] Power law distribution of seismic rates: theory and data

А. И. Саичев, Didier Sornette|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Geotechnical and Geomechanical Engineering被引用 19

一句话总结

该论文提出，南加州时空箱体中地震率分布的幂律尾部源于ETAS模型中的级联地震触发，其稳定指数 μ ≈ 1.6。通过在断层网络中引入预先存在的冻结异质性，扩展理论成功地使用在最大时间窗口上校准的参数，预测了从1到1000天时间窗口内的经验分布，挑战了基于泊松分布的预测方法和去群集方法。

ABSTRACT

We report an empirical determination of the probability density functions P(r) of the number r of earthquakes in finite space-time windows for the California catalog, over fixed spatial boxes 5 x 5 km^2 and time intervals dt =1, 10, 100 and 1000 days. We find a stable power law tail P(r) ~ 1/r^{1+mu} with exponent mu \approx 1.6 for all time intervals. These observations are explained by a simple stochastic branching process previously studied by many authors, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model which assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. We develop the full theory in terms of generating functions for describing the space-time organization of earthquake sequences and develop several approximations to solve the equations. The calibration of the theory to the empirical observations shows that it is essential to augment the ETAS model by taking account of the pre-existing frozen heterogeneity of spontaneous earthquake sources. This seems natural in view of the complex multi-scale nature of fault networks, on which earthquakes nucleate. Our extended theory is able to account for the empirical observation satisfactorily. In particular, the adjustable parameters are determined by fitting the largest time window $dt=1000$ days and are then used as frozen in the formulas for other time scales, with very good agreement with the empirical data.

研究动机与目标

• 解释南加州时空箱体中地震率分布经验观测到的幂律尾部现象。
• 检验地震率的重尾分布是否源于触发地震模型的内在特性，而非统计伪影。
• 通过在自发地震源中引入预先存在的冻结异质性，改进ETAS模型，以更好地匹配实证数据。
• 挑战在地震预测和去群集方法中使用泊松统计，因为这些方法可能未能正确反映地震率的真实分布。

提出的方法

• 作者使用生成函数在ETAS分支过程框架内建模地震序列在时空上的组织结构。
• 他们发展了生成函数和概率分布的近似方法，包括针对有限空间窗口的分解方法。
• 该理论结合了空间异质的、预先存在的自发地震源分布，将其建模为冻结的应力/断层网络。
• 通过求解非线性积分方程的数值解来验证解析近似。
• 模型在最大时间窗口（dt = 1000天）上进行校准，相同参数用于较小窗口以检验一致性。
• 理论预测与加州地震目录在四个时间窗口（1、10、100和1000天）上的实证数据进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在多个时间尺度上，时空箱体中地震率的经验分布表现出稳定指数μ ≈ 1.6的幂律尾部？
• RQ2 ETAS触发地震模型能否在不依赖泊松统计的前提下，解释观测到的地震率重尾分布？
• RQ3 在自发地震源中引入预先存在的冻结异质性，如何改善与实证数据的拟合？
• RQ4 基于泊松统计的标准去群集方法和似然性评分，在多大程度上因地震率的内在重尾特性而失效？

主要发现

• 加州地震率的经验概率密度函数在所有1至1000天的时间窗口中均表现出稳定的幂律尾部，P_data(r) ∼ 1/r^{1+μ}，指数μ ≈ 1.6。
• 具有级联余震的ETAS模型能自然生成地震率的幂律尾部，从而解释了观测到的重尾分布。
• 在自发地震源中引入预先存在的冻结异质性，对于在有限时空窗口内定量匹配实证数据至关重要。
• 在1000天窗口上校准的模型参数，无需重新拟合即可成功预测较短窗口（1、10、100天）的分布，表明模型具有鲁棒性和尺度不变性。
• 有限区域的分解近似方法与精确数值解实现了半定量匹配，主要差异在于真实分布中大r值处的衰减更快。
• 研究结果表明，由于地震率的内在重尾特性，基于泊松分布的似然性评分和去群集方法可能在根本上存在缺陷。