[论文解读] Power law rheology of generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models

Pedro Patrício|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Theoretical and Computational Physics被引用 3

一句话总结

本文分析了广义麦克斯韦模型和广义凯尔文-沃伊特模型在松弛时间或 retardation 时间幂律谱下的幂律流变行为。结果表明，当 0 < α < 1 时，两种模型均表现出几乎相同的弱幂律行为 G′ ∼ G′′ ∼ ω^α，这与软材料（如活细胞）中常见的行为一致；而对于其他 α 值，它们表现出截然不同的非普遍行为，并在极端 α 极限下收敛至单元素模型。

ABSTRACT

We analyse the rheological behaviour of the generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models with a power law spectrum of relaxation or retardation times, ${\cal H}\sim 1/τ^α$ or ${\cal L}\sim τ^α$, respectively. When $02$.

研究动机与目标

• 理解在无缠结聚合物、凝胶和活细胞等软材料中观测到的弱幂律流变行为（G′ ∼ G′′ ∼ ω^α）的起源。
• 研究广义麦克斯韦模型与广义凯尔文-沃伊特模型如何通过松弛时间或 retardation 时间的幂律谱再现该行为。
• 阐明在不同 α 值下，这两种模型产生相同或不同流变响应的条件，特别是针对不同 α 值的情形。
• 建立广义麦克斯韦模型松弛谱与广义凯尔文-沃伊特模型 retardation 谱之间的数学与物理联系。
• 证明在极端 α 范围（α < -1 或 α > 2）下，两种模型均收敛至其单元素对应模型。

提出的方法

• 通过连续松弛谱 H ∼ 1/τ^α 推导广义麦克斯韦模型的复模量 G*(ω)。
• 通过连续 retardation 谱 L ∼ τ^α 推导广义凯尔文-沃伊特模型的复 compliance J*(ω)。
• 应用拉普拉斯变换与 Boltzmann 超位置原理，将时域响应函数与频域模量联系起来。
• 使用 N 个模式的离散谱对 G′(ω) 与 G′′(ω) 进行数值计算，其中 τ_i 与 J_i 的选取以匹配幂律行为。
• 通过 τ_i = τ_min * i^{(1+β)/α} 与 J_i = J * i^β 实现所需的 α-谱离散化。
• 通过对比连续模型与离散模型验证结果，确认在 τ_min → 0 与 τ_max → ∞ 的极限下实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义麦克斯韦模型与广义凯尔文-沃伊特模型表现出相同的弱幂律行为 G′ ∼ G′′ ∼ ω^α？
• RQ2 当 α < 0 或 α > 1 时，两种模型的流变响应在普遍弱幂律行为区域之外有何不同？
• RQ3 在 α < -1 与 α > 2 的极限下，模型的行为如何？它们如何收敛至单元素麦克斯韦模型与单元素凯尔文-沃伊特模型？
• RQ4 对于相同的 α，G′ 与 G′′ 的交点在两种模型之间如何变化？这对它们的动力响应意味着什么？
• RQ5 具有有限 N 个模式的离散模型能否准确再现连续幂律行为，特别是在中频范围？

主要发现

• 当 0 < α < 1 时，广义麦克斯韦模型与广义凯尔文-沃伊特模型均表现出几乎相同的弱幂律行为，即 G′(ω) ∼ G′′(ω) ∼ ω^α，与软材料中的观测结果一致。
• 在广义凯尔文-沃伊特模型中，黏性模量 G′′(ω) 的指数始终大于弹性模量 G′(ω) 的指数，这是麦克斯韦模型中未见的显著特征。
• 当 α < -1 时，广义麦克斯韦模型收敛至单元素麦克斯韦模型，此时 G′(ω) ∼ ω^0 且 G′′(ω) ∼ ω^1，表明在所有频率下均表现为纯黏性响应。
• 当 α > 2 时，广义凯尔文-沃伊特模型收敛至单元素凯尔文-沃伊特模型，此时 G′(ω) ∼ ω^0 且 G′′(ω) ∼ ω^1，表明在低频下表现为纯弹性行为。
• 当 α < 0.5 时，广义麦克斯韦模型中 G′ 与 G′′ 的交点出现在低频；而对相同 α 值，广义凯尔文-沃伊特模型的交点则出现在高频。
• 采用 τ_min = 10^{-3}、τ_max = 10^3 与 N = 10^3 的离散 N 模型进行的数值模拟验证了分析预测，并在中频范围 10^{-1} < ω < 10^1 内显示出良好的收敛性。