[论文解读] Power law violation of the area law in critical spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

该论文提出了一类精确可解的、平移不变的、局域的整数自旋-$s$链的哈密顿量，其表现出临界行为，但违反了纠缠熵的面积律，以$ \sqrt{n}$的幂律方式随系统尺寸$n$增长。该模型为无 frustration 的，具有唯一基态，且能隙以$n^{-c}$方式闭合，其中$c \geq 2$，从而排除了共形场论的描述。

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

研究动机与目标

• 构建一类具有物理性、局域性、平移不变性的自旋链，表现出临界性但违反纠缠熵的面积律。
• 证明此类违反不仅限于对数因子，还可表现为幂律，具体为系统尺寸的$\sqrt{n}$。
• 证明该模型无 frustration，具有唯一基态，并分析能隙的缩放行为。
• 证明基态可精确描述为所有$s$-着色 Motzkin 路径的均匀叠加，从而提供几何解释。
• 引入外场以消除边界项，同时保持模型的关键物理性质。

提出的方法

• 通过局域、平移不变的哈密顿量，将 Bravyi 等人提出的自旋-1 模型推广至所有整数自旋-$s$链。
• 利用布朗运动上升过程的理论，推导能隙指数的下界，证明能隙缩放为$n^{-c}$时有$c \geq 2$。
• 将基态表征为所有$s$-着色 Motzkin 路径的均匀叠加，这些路径为受约束的格路。
• 应用格路理论中的组合技术，计算 Schmidt 秩和纠缠熵的渐近行为。
• 引入外场以修改边界项，而不改变体性质或基态结构。
• 采用自包含的组合与分析方法，推导纠缠熵缩放关系，并进行显式渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有局域、平移不变哈密顿量的临界自旋链，是否可能以超过对数因子的方式违反面积律，具体表现为幂律？
• RQ2 此类模型中纠缠熵的精确缩放行为如何？是否可利用组合路径模型进行解析推导？
• RQ3 此类模型中能隙如何随系统尺寸缩放？这对它们的普适类意味着什么？
• RQ4 基态是否可精确描述为受约束格路（如$s$-着色 Motzkin 路径）的叠加？
• RQ5 是否可通过外场消除边界效应，同时保持模型的临界性和可解性特征？

主要发现

• 半链纠缠熵以$\sqrt{n}$为主导项缩放，代表了面积律的幂律违反。
• 基态的 Schmidt 秩随$n$指数增长，表明具有高度的纠缠复杂性。
• 能隙以$n^{-c}$方式闭合，且$c \geq 2$，排除了共形场论的描述。
• 该模型无 frustration，具有唯一基态，确保了稳定性与明确的低能物理行为。
• 基态可精确实现为所有$s$-着色 Motzkin 路径的均匀叠加，提供了几何与组合表征。
• 可通过外场消除边界项，同时保持模型的临界性与可解性特征。