[论文解读] Power law violation of the area law in quantum spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文提出了一类精确可解的、平移不变的、局域的整数自旋-$s$链哈密顿量，其违反面积律的程度为幂律，半链纠缠熵按$\sqrt{n}$缩放。该模型为无 frustration 的，具有唯一基态，且能隙按$n^{-c}$缩放，其中$c \geq 2$，从而排除了其可用相对论性共形场论描述，因此为‘物理系统中纠缠对面积律的违反仅限于对数修正’这一信念提供了反例。

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

研究动机与目标

• 构建一个物理上合理的、局域的、平移不变的量子自旋链模型，其对面积律的违反程度超过对数修正。
• 证明在该类模型中，纠缠熵可按$\sqrt{n}$缩放，即幂律违反，而非临界或无能隙系统中预期的$\log n$。
• 严格证明该模型为无 frustration，具有唯一基态，并建立能隙缩放下限为$n^{-c}$，其中$c \geq 2$。
• 证明基态为所有长度为$n$的$s$-色 Motzkin 路径的均匀叠加，从而实现纠缠与能量的精确组合分析。
• 引入外场以消除边界效应，同时保持模型的关键特性，包括纠缠熵与能隙缩放。

提出的方法

• 通过基于带色 Motzkin 路径（含上、下、平移步）的哈密顿量，将 Bravyi 等人的自旋-1 模型推广至所有整数自旋-$s$ 链。
• 将基态表示为所有长度为$n$、高度为$m$的$s$-色 Motzkin 路径的均匀叠加，利用组合框架分析纠缠与能量。
• 应用布朗运动过根理论的技术，推导出 Schmidt 秩与纠缠熵的渐近行为，表明$S \sim \sqrt{n}$为领先阶。
• 利用鞍点近似与积分表示法，计算外场算符$F$的期望值，得到能量修正项缩放为$\epsilon/n \cdot \langle g_m|F|g_m\rangle$。
• 通过变分法建立能隙的下限，证明$\Delta \geq \Omega(n^{-c})$，其中$c \geq 2$，方法基于路径计数与随机游走的极值统计。
• 引入仅耦合于嵌入 Dyck 路径（平衡的上下步）的外场$F$，实现边界项的消除，同时保持模型的物理与纠缠特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个局域的、平移不变的、无 frustration 的量子自旋链，其对面积律的违反程度超过对数因子？
• RQ2 在具有非零能隙的物理上合理的局域量子系统中，纠缠熵的最大可能缩放为何种形式？
• RQ3 能否构造一个对面积律存在幂律违反的精确可解模型，且其能隙随系统尺寸多项式闭合？
• RQ4 当基态为所有颜色 Motzkin 路径的均匀叠加时，纠缠熵如何缩放？
• RQ5 能否通过外场消除边界效应，而不改变模型的纠缠或能隙结构？

主要发现

• 半链纠缠熵以$\sqrt{n}$为领先阶缩放，代表了对面积律的幂律违反。
• 该模型的能隙缩放为$n^{-c}$，其中$c \geq 2$，排除了其可用相对论性共形场论描述的可能性。
• 基态的 Schmidt 秩随$n$指数增长，与$\sqrt{n}$纠缠缩放一致。
• 基态为所有长度为$n$的$s$-色 Motzkin 路径的均匀叠加，具有明确的组合结构。
• 外场构造可消除边界项，同时保持模型的关键特征，包括纠缠熵与能隙缩放。
• 纠缠熵与能隙的渐近分析依赖于高级组合技术，包括鞍点近似与布朗运动过根理论，这些方法可能适用于其他哈密顿量能隙问题。