[论文解读] Power operations for $ ext{H}\underline{\mathbb{F}}_2$ and a cellular construction of $ ext{BP}\mathbf{R}$

Dylan Wilson|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过涉及Tate构造和正则表示球面的扩展幂的共线化技巧，为$\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2$ 构造了等变幂运算。它计算了这些运算在$C_2$-等变对偶斯廷罗德代数上的作用，并利用结果通过偶维数、2-局部分片细胞给出了$\mathrm{BP}\mathbf{R}$的纯同伦论细胞构造，证明了$\mathrm{Even}(S^0) \simeq \mathrm{BP}\mathbf{R}$，并确定了其分片塔结构。

ABSTRACT

We study some power operations for ordinary $C_2$-equivariant homology with coefficients in the constant Mackey functor $\underline{\mathbb{F}}_2$. In addition to a few foundational results, we calculate the action of these power operations on a $C_2$-equivariant dual Steenrod algebra. As an application, we give a cellular construction of the $C_2$ equivariant Brown-Peterson spectrum $ ext{BP}\mathbf{R}$ and deduce its slice tower.

研究动机与目标

• 为$C_2$-等变设定下的$\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2$ 构造等变幂运算，扩展经典Dyer-Lashof运算。
• 计算这些幂运算在$C_2$-等变对偶斯廷罗德代数上的作用，特别是对生成元$\tau_0$的作用。
• 提供一个完全同伦论的、细胞的$\mathrm{BP}\mathbf{R}$构造，不依赖于流形或形式群律。
• 利用所构造的细胞模型确定$\mathrm{BP}\mathbf{R}$的分片塔。
• 建立谱$\mathrm{Even}(S^0)$，通过向$S^0_{(2)}$附着偶维数分片细胞构成，与$\mathrm{BP}\mathbf{R}$同伦等价。

提出的方法

• 通过谱$\mathrm{Ops}_{\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2} := \operatorname{holim}_n (\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2 \wedge \Sigma^{n\rho} \mathbb{P}_2(S^{-n\rho}))$定义幂运算，将$S^{n\rho}$的扩展幂替换为共线化版本，以处理任意表示球面。
• 将$\mathrm{Ops}_{\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2}$识别为Tate构造的延迟悬垂，从而实现对其同伦上斯廷罗德共作用的计算。
• 利用Nishida关系和共作用计算，确定幂运算在对偶斯廷罗德代数上的作用。
• 通过向$S^0_{(2)}$附着偶维数、2-局部分片细胞，构造$\mathrm{Even}(S^0)$，以消去度数为$n\rho - 1$的同伦Mackey函子。
• 应用障碍理论和$RO(C_2)$-分次Whitehead定理，通过比较底层谱和几何固定点，验证$\mathrm{Even}(S^0) \simeq \mathrm{BP}\mathbf{R}$。
• 利用Adams谱序列和余模结构，验证$\mathrm{Even}(S^0)$具有正确的同伦Mackey函子和分片过滤。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种超越正则表示球面的方式，构造出$\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2$的等变幂运算？
• RQ2 这些幂运算在$C_2$-等变对偶斯廷罗德代数上的作用是什么，特别是对生成元$\tau_0$的作用？
• RQ3 能否仅使用同伦论数据，通过细胞方法构造$\mathrm{BP}\mathbf{R}$，而不依赖于流形或形式群律？
• RQ4 $\mathrm{BP}\mathbf{R}$的分片塔是什么？它与$\mathrm{Even}(S^0)$的细胞构造有何关系？
• RQ5 通过向$S^0_{(2)}$附着偶维数分片细胞构成的谱$\mathrm{Even}(S^0)$是否与$\mathrm{BP}\mathbf{R}$同伦等价？

主要发现

• 对于任意具有对称$C_2$-乘法的$C_2$-谱$X$，等变幂运算$Q^{n\rho}$在$(\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2)_\star X$上均有定义，且满足经典Dyer-Lashof性质的等变类比。
• $C_2$-等变对偶斯廷罗德代数$\underline{\pi}_\star(\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2 \wedge \mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2)$作为幂运算代数，由$\tau_0 \in \pi^{C_2}_1(\mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2 \wedge \mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2)$生成。
• 利用Tate构造和共作用计算，验证了幂运算的Nishida关系，即使在非等变情形下也提供了清晰的推导。
• $\mathrm{Even}(S^0)$，通过向$S^0_{(2)}$附着偶维数、2-局部分片细胞以消去度数为$n\rho - 1$的同伦Mackey函子而构造，与$\mathrm{BP}\mathbf{R}$同伦等价。
• $\mathrm{Even}(S^0)$的同伦Mackey函子满足$\underline{\pi}_{*\rho}(\mathrm{Even}(S^0)) \cong \underline{\mathbb{Z}}_{(2)}[v_1, v_2, \dots]$，其中$|v_i| = (2^i - 1)\rho$，且$\underline{\pi}_{*\rho - 1}(\mathrm{Even}(S^0)) = 0$。
• $\mathrm{BP}\mathbf{R}$的分片塔由细胞构造确定，第$n$个分片为$\Sigma^{n\rho} \mathrm{H}\underline{\mathbb{F}}_2$（$n \geq 0$）。