[论文解读] Power operations in the Kunneth spectral sequence and commutative HFp-algebras

Sean Tilson|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文通过引入一个关于滤化 $ R $-模谱的新型比较定理，建立了相对 smash 乘积的交换 $ {H}b F_p$-代数上的 Künneth 族谱序列的乘法性。它计算了在 $ R = ku $、$ BPigracevert 2igracevert $ 和 $ MU $ 情况下，Dyer-Lashof 代数在 $ {H}b F_p \wedge_R {H}b F_p $ 上的作用，并表明幂运算能够检测出将商谱实现为交换 $ R $-代数时的非平凡障碍。

ABSTRACT

In this paper, we prove the multiplicativity of the Künneth spectral sequence. This is established by an analogue of the Comparison Theorem from homological algebra, which we suspect may be useful for other spectral sequences. This multiplicativity is then used to compute the action of the Dyer-Lashof algebra on $\HF_p \wedge_{ku} \HF_p$, $\HF_p \wedge_{\BP} \HF_p$, and part of the action on $\HF_p \wedge_{MU} \HF_p$. We then relate these computations to the construction of commutative $R$-algebra structures on commutative $\HF_p$-algebras. In the case of $MU$, we obtain a necessary closure condition on ideals $I\subset MU_*$ such that $MU/I$ can be realized as a commutative $MU$-algebra.

研究动机与目标

• 在交换环谱的背景下，建立 Künneth 族谱序列的乘法性。
• 计算各种 $ R $ 下相对 smash 乘积 $ {H}b F_p \wedge_R {H}b F_p $ 上 Dyer-Lashof 代数的作用。
• 确定商谱 $ R/I $ 能否赋予交换 $ R $-代数结构的必要条件。
• 阐明幂运算在检测 $ E_\infty $-环谱映射的余切复形中非平凡同伦类方面的作用。

提出的方法

• 引入关于滤化 $ R $-模谱的比较定理，将滤化模之间的映射在同伦意义下上提。
• 利用比较定理证明 $ R $-代数上 Künneth 族谱序列的乘法性。
• 将乘法结构应用于通过谱序列中的幂运算计算 $ {H}b F_p \wedge_R {H}b F_p $ 上的 Dyer-Lashof 作用。
• 分析 $ \pi_*X $ 中的障碍类 $ d(f,g)_*(\overline{p}) $，以检测映射 $ {H}b F_p \to X $ 的非同伦提升。
• 将 $ d(f,g)_*(\overline{p}) $ 的消失性与 $ R $ 中 $ p $ 的同伦零同伦的同伦等价性联系起来，利用滤化上的 $ H_\infty $-结构。
• 利用幂运算如 $ Q^i(\overline{2}) = \overline{v} $ 在 $ \pi_*\r{H}\bb F_2 \wedge_{ku}\r{H}\bb F_2 $ 中，检测 $ v $ 与 $ 2 $ 的平凡化之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在交换环谱的背景下使 Künneth 族谱序列具有乘法性？
• RQ2 在 $ R = ku $、$ BP\big\bracevert 2\big\bracevert $ 和 $ MU $ 情况下，Dyer-Lashof 代数在 $ \r{H}\bb F_p \wedge_R \r{H}\bb F_p $ 上的作用是什么？
• RQ3 在何种条件下，商 $ R/I $ 可以被实现为交换 $ R $-代数？
• RQ4 谱序列中的幂运算如何检测 $ \pi_*R $ 中元素的同伦零同伦的障碍？
• RQ5 能否通过 $ 2 \in \pi_*ku $ 的平凡化，函子性地构造出 $ v \in \pi_*ku $ 的平凡化？

主要发现

• Künneth 族谱序列对 $ R $-代数是乘法的，且其滤化上具有相容的 $ H_\infty $-结构，纠正了先前文献中的一个错误。
• 通过幂运算计算了 $ \r{H}\bb F_2 \wedge_{ku} \r{H}\bb F_2 $ 上 Dyer-Lashof 代数的作用，其中 $ Q^2(\overline{2}) = \overline{v} $。
• 对于 $ R = BP\big\bracevert 2\big\bracevert $，计算了 $ \r{H}\bb F_2 \wedge_R \r{H}\bb F_2 $ 上的 Dyer-Lashof 作用，揭示了同伦群中的非平凡关系。
• 在 $ MU $ 的情形下，找到了理想 $ I \subset MU_* $ 的必要闭包条件，使得 $ MU/I $ 能够赋予 $ MU $-代数结构。
• $ \overline{p} \in \pi_*\r{H}\bb F_p \wedge_R \r{H}\bb F_p $ 作为余切复形中非平凡障碍的见证，当且仅当 $ p $ 的零同伦是同伦等价时，有 $ d(f,g)_*(\overline{p}) = 0 $。
• 幂运算表明，$ ku $ 中 $ 2 $ 的平凡化会诱导出 $ v $ 的平凡化之间的非平凡关系，即使在 $ \pi_*ku $ 中 $ Q^2(2) = v $ 不成立。