[论文解读] Power series proofs for local stabilities of Kähler and balanced structures with mild $\partial\bar\partial$-lemma

Sheng Rao, Xueyuan Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文提出一种幂级数方法，证明在较弱的 $\nabla\overline{\partial}$-引理条件下，紧致复流形上的凯勒结构与平衡结构的局部稳定性。通过利用自然延拓映射对微分形式进行形式幂级数展开，作者建立了收敛性与正则性，证明当第 $(n-1,n)$ 项较弱的 $\nabla\overline{\partial}$-引理成立，或当 $(p,p)$-博特-蔡恩数在形变下保持不变时，凯勒与平衡结构在小形变下依然保持不变。

ABSTRACT

By use of a natural map introduced recently by the first and third authors from the space of pure-type complex differential forms on a complex manifold to the corresponding one on the small differentiable deformation of this manifold, we will give a power series proof for Kodaira-Spencer's local stability theorem of Kähler structures. We also obtain two new local stability theorems, one of balanced structures on an $n$-dimensional balanced manifold with the $(n-1,n)$-th mild $\partial\bar\partial$-lemma by power series method and the other one on $p$-Kähler structures with the deformation invariance of $(p,p)$-Bott-Chern numbers.

研究动机与目标

• 提供凯勒结构局部稳定性定理的幂级数证明，避免依赖偏微分方程理论。
• 在满足第 $(n-1,n)$ 项较弱 $\nabla\overline{\partial}$-引理的 $n$ 维紧致复流形上，建立平衡结构的新局部稳定性定理。
• 在 $(p,p)$-博特-蔡恩数形变不变的假设下，证明 $p$-凯勒结构的局部稳定性。
• 将幂级数方法推广至复几何结构，利用从中心纤维到形变纤维的自然延拓映射。

提出的方法

• 作者通过使用与贝尔特拉米微分相关的收缩算子的指数，对形变复流形上的微分形式进行形式幂级数展开。
• 他们定义了一个延拓映射 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $，将形式从中心纤维 $X_0$ 提升到邻近纤维 $X_t$。
• 通过霍尔德估计建立幂级数的收敛性，确保在中心纤维邻域内存在光滑解。
• 应用正则性论证，表明构造出的度量或形式在形变下仍保持闭合与正定。
• 该方法依赖于第一与第三作者引入的自然映射，该映射在形变下保持纯类型形式的结构。
• 利用涉及 $\partial$、$\overline{\partial}$ 与尼真久斯张量的关键恒等式，验证形变后形式的闭合性与正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过幂级数方法证明凯勒结构的局部稳定性，而无需引入深层的偏微分方程结果？
• RQ2 在何种条件下，第 $(n-1,n)$ 项较弱的 $\partial\overline{\partial}$-引理能保证平衡结构的局部稳定性？
• RQ3 $(p,p)$-博特-蔡恩数的形变不变性是否意味着 $p$-凯勒结构的局部稳定性？
• RQ4 如何利用延拓映射 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $ 构造形变流形上微分形式的收敛幂级数？

主要发现

• 幂级数方法成功地在不依赖偏微分方程的前提下证明了凯勒结构的局部稳定性，通过形式幂级数确认了科达尔-斯宾塞定理。
• 本文在第 $(n-1,n)$ 项较弱 $\partial\overline{\partial}$-引理成立的条件下，建立了 $n$ 维紧致复流形上平衡结构的新局部稳定性结果。
• 作者在 $(p,p)$-博特-蔡恩数形变不变的假设下，通过两种不同的证明方法，证明了 $p$-凯勒结构的局部稳定性。
• 通过霍尔德估计证明了延拓形式的幂级数收敛性，确保其对形变参数的光滑依赖性。
• 延拓映射 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $ 在形变下保持形式的 $\partial$-与 $\overline{\partial}$-闭合性。
• 证明显示，在给定条件下，有 $\overline{\partial}(\varphi \lrcorner \omega)_k = 0$ 对 $k=1,2,3$ 成立，这意味着 $\overline{\partial}(\varphi \lrcorner \omega) = 0$，从而确认了形变后形式的闭合性。