[论文解读] Power Utility Maximization in Discrete-Time and Continuous-Time Exponential Levy Models

Johannes Temme|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在最小假设条件下，建立了指数 Lévy 模型中最优离散时间投资策略向连续时间对应策略的收敛性。证明了随着再平衡时间点数量的增加，离散时间模型中投资于风险资产的最优财富比例收敛于连续时间的恒定最优策略，并给出了确保该收敛性的 Lévy 过程的显式条件。

ABSTRACT

Consider power utility maximization of terminal wealth in a 1-dimensional continuous-time exponential Levy model with finite time horizon. We discretize the model by restricting portfolio adjustments to an equidistant discrete time grid. Under minimal assumptions we prove convergence of the optimal discrete-time strategies to the continuous-time counterpart. In addition, we provide and compare qualitative properties of the discrete-time and continuous-time optimizers.

研究动机与目标

• 研究指数 Lévy 模型中，随着再平衡时间点数量的增加，最优离散时间投资策略是否收敛于连续时间最优策略。
• 分析在不同风险厌恶程度和漂移条件下，离散时间与连续时间最优策略的定性行为。
• 建立连续时间最优策略在离散时间设置中仍可接受的条件，特别关注 Lévy 三元组和可积性假设的作用。
• 比较离散时间与连续时间最优策略的结构与性质，尤其关注可接受恒定策略的定义域。
• 在 Lévy 过程的假设尽可能弱的前提下，使用随机微积分和离散 Gronwall 型不等式，提供严格的收敛性证明。

提出的方法

• 通过将连续时间指数 Lévy 模型离散化，将投资组合再平衡限制在有限时间跨度 $ T $ 内的 $ N $ 个等距时间点上。
• 将离散时间最优策略 $ \pi_N^* $ 定义为从第一期 Lévy 过程分布导出的确定性严格凹函数 $ g^N $ 的最大化者。
• 将连续时间最优策略 $ \pi^* $ 定义为基于完整 Lévy 三元组的确定性严格凹函数 $ g $ 的最大化者。
• 使用随机微积分方法，通过 Itô 公式和随机指数的矩估计，控制连续时间与离散时间财富过程之间的差异。
• 应用离散 Gronwall 引理，控制时间步长上传播的误差，确保当 $ N \to \infty $ 时最优策略的收敛性。
• 建立性能函数关于投资组合权重和风险厌恶参数的连续性，包括一阶和二阶导数，从而在收敛性证明中可使用隐函数定理的论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间点数量 $ N \to \infty $ 时，最优离散时间策略 $ \pi_N^* $ 是否收敛于连续时间最优策略 $ \pi^* $？
• RQ2 在何种 Lévy 过程条件下（例如是否存在布朗运动或跳跃），连续时间最优策略 $ \pi^* $ 在离散时间模型中是可接受的？
• RQ3 Lévy 过程漂移的符号以及风险厌恶参数 $ p $ 如何影响两种时间框架下最优策略的结构与取值？
• RQ4 策略 $ \pi_N^* $ 收敛于 $ \pi^* $ 的速率是多少？其如何依赖于 Lévy 三元组及过程的可积性？
• RQ5 两种模型中的最优策略是否均为时间常数？若为常数，该性质在何种条件下成立？

主要发现

• 在最小假设下，包括 Lévy 过程的可积性，以及存在非零布朗运动部分或同时存在正负跳跃的情况下，最优离散时间策略 $ \pi_N^* $ 随 $ N \to \infty $ 收敛于连续时间最优策略 $ \pi^* $。
• 最优连续时间策略 $ \pi^* $ 为常数，且是依赖于 Lévy 三元组的确定性严格凹函数 $ g $ 的最大化者，在所述假设下其取值位于 $[0,1]$ 区间内。
• 最优离散时间策略 $ \pi_N^* $ 同样为时间常数，且是仅依赖于 Lévy 过程第一期增量的确定性严格凹函数 $ g^N $ 的最大化者。
• 由于矩估计和离散 Gronwall 引理的应用，$ \pi_N^* $ 到 $ \pi^* $ 的收敛速率为 $ O(n^{-1}) $，其中 $ n = N $。
• 定义最优性一阶条件的函数 $ K(\pi, p) = \partial I / \partial \pi $ 和 $ M(\pi, p) = \partial I / \partial p $ 在可接受策略集的内部区域连续，确保了最大化者的稳定性。
• 对于仅有正跳跃或仅有负跳跃的纯跳跃过程，可接受策略集依赖于 $ N $；但若假设存在非零布朗运动分量或混合跳跃，则该集合统一为 $[0,1]$，从而简化了收敛性分析。