[论文解读] Powerful $p$-groups have noninner automorphisms of order $p$ and some cohomology

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文证明了，对于满足 $G/Z(G)$ 强大的有限非交换 $p$-群 $G$，存在一个阶为 $p$ 的非内自同构，其固定 $\Phi(G)$ 或 $\Omega_1(Z(G))$ 元素不变。通过使用上同调技术，特别是 Tate 上同调，作者证明当 $G/N$ 不是循环群且 $p > 2$ 时，对所有 $n \geq 0$ 有 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$，这通过一个将非平凡的一阶上同调与阶为 $p$ 的非内自同构联系起来的上同调准则，意味着此类自同构的存在性。该结果推广了对 $p$-中心群和类为 2 的幂零群的先前工作。

ABSTRACT

In this paper we study the longstanding conjecture of whether there exists a noninner automorphism of order $p$ for a finite non-abelian $p$-group. We prove that if $G$ is a finite non-abelian $p$-group such that $G/Z(G)$ is powerful then $G$ has a noninner automorphism of order $p$ leaving either $Φ(G)$ or $Ω_1(Z(G))$ elementwise fixed. We also recall a connection between the conjecture and a cohomological problem and we give an alternative proof of the latter result for odd $p$, by showing that the Tate cohomology $H^n(G/N,Z(N)) ot=0$ for all $n\geq 0$, where $G$ is a finite $p$-group, $p$ is odd, $G/Z(G)$ is $p$-central (i.e., elements of order $p$ are central) and $N\lhd G$ with $G/N$ non-cyclic.

研究动机与目标

• 为长期存在的猜想提供证明：每个有限非交换 $p$-群（$p > 2$）都存在一个阶为 $p$ 的非内自同构。
• 建立一个上同调准则，将非平凡的 Tate 上同调 $H^n(G/N, Z(N))$ 与阶为 $p$ 的非内自同构的存在性联系起来。
• 证明若 $G/Z(G)$ 是强大的或 $p$-中心的，则 $G$ 存在一个阶为 $p$ 的非内自同构，其固定 $\Phi(G)$ 或 $\Omega_1(Z(G))$ 元素不变。
• 为某些 $p$-群中 Tate 上同调的非零性提供一个替代的上同调证明，特别是针对奇素数 $p$。

提出的方法

• 使用 Tate 上同调 $H^n(G/N, Z(N))$ 分析 $p$-群的自同构，特别关注对所有 $n \geq 0$ 的非平凡性。
• 应用 Gaschütz 和 Uchida 关于上同调平凡模的定理，将问题约化为不动点条件。
• 利用交叉同态 $Z^1(G/N, Z(N))$ 与 $C_{\text{Aut}(G)}(N; G/N)$ 中自同构之间的同构关系，将上同调与自同构结构联系起来。
• 通过 $A_{H/N} = A^{\tau_{H/N}}$ 的维数转移和不动点分析，假设上同调平凡时导出矛盾。
• 使用引理 3.7 证明当 $G/Z(G)$ 是 $p$-中心且 $p > 2$ 时，$Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 是一个初等阿贝尔 $p$-群。
• 反证法：假设 $H^n(G/N, Z(N)) = 0$，则 $G/N$ 必有唯一的 $p$-阶子群，从而 $G/N$ 是循环群或广义四元数群，与非循环假设矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个满足 $G/Z(G)$ 强大的有限非交换 $p$-群是否都存在一个阶为 $p$ 的非内自同构？
• RQ2 在 $p$-群中，确保阶为 $p$ 的非内自同构存在的上同调条件是什么？
• RQ3 对于哪些正规子群 $N \lhd G$，有 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 对所有 $n \geq 0$ 成立？
• RQ4 Tate 上同调 $H^1(G/N, Z(N))$ 的非零性是否可用于证明阶为 $p$ 的非内自同构的存在性？
• RQ5 当 $G/N$ 不是循环群时，$G$ 和 $N$ 满足何种条件可使 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 对所有 $n \geq 0$ 成立？

主要发现

• 若 $G$ 是一个满足 $G/Z(G)$ 强大的有限非交换 $p$-群，则 $G$ 存在一个阶为 $p$ 的非内自同构，其固定 $\Phi(G)$ 或 $\Omega_1(Z(G))$ 元素不变。
• 对奇素数 $p$，若 $G/Z(G)$ 是 $p$-中心的，或 $G$ 是类至多为 2 的幂零群，则对所有非循环商群 $G/N$，有 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 对所有 $n \geq 0$ 成立。
• 若 $C_G(N) = Z(N)$，则 Tate 上同调 $H^1(G/N, Z(N)) \not= 0$ 意味着存在阶为 $p$ 的非内自同构，依据引理 1.4。
• 为 $H^n(G/N, Z(N))$ 的非零性提供了一个替代的上同调证明，当 $p > 2$ 时，利用引理 3.7 证明 $Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 是一个初等阿贝尔 $p$-群。
• 证明表明，若 $H^n(G/N, Z(N)) = 0$ 对某个 $n$ 成立，则 $G/N$ 必为循环群或广义四元数群，与非循环假设矛盾。
• 对 $p > 2$，通过 $H^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 的非零性以及交叉同态的结构，确立了固定 $\Phi(G)$ 的阶为 $p$ 的非内自同构的存在性。