[论文解读] Powers in finite groups

Dan Segal, Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Sep 25, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文证明，在任意由 d 个生成元生成的有限群中，由 q 次幂生成的词性子群 G^q 的每个元素都可以表示为至多 f(d,q) 个 q 次幂的乘积，其中 f(d,q) 仅依赖于 d 和 q。这表明在有限生成的投影群中，G^q 是开的，从而推广了受限 Burnside 问题的解，并证实了 q 次幂词性子群具有有限宽度，且在这些群中是闭的。

ABSTRACT

In this note we prove that if $G$ is a finitely generated profinite group then the verbal subgroup $G^{q}$ is open. Equivalently in a $d$-generator finite group every product of $q$th powers is a product of $f(d,q)$ $q$th powers.

研究动机与目标

• 建立一个统一的界限 f(d,q)，使得在任意 d 个生成元的有限群中，生成 G^q 的任一元素所需的 q 次幂数量不超过 f(d,q)。
• 证明在任意有限生成的投影群中，词性子群 G^q 是开的，从而推广受限 Burnside 问题的解。
• 推广早期关于词性子群在投影群中为闭子群的结果，特别是针对幂词 x^q 的情形。
• 证明词 x^q 对每个 d 都是 d-受限的，从而表明在投影群中，w(G) 具有有限宽度且为闭子群。

提出的方法

• 以有限单群的分类和受限 Burnside 问题的解作为基础工具。
• 应用文献 [NS] 中的命题 1，以 h(k,d,q) 作为在涉及 Alt(k) 的有界节的群中 G^q 宽度的界。
• 运用命题 2 控制具有大单群商的完美正规子群 N 的结构，证明 G_q^*m 模一个小子群可生成 N。
• 在 G = H^q 中构造一个特征列 K1 ≥ K3 ≥ K4 ≥ K5，使得 K5 是可接受的，从而可应用关键定理（命题 4）以用换位子和 q 次幂的乘积来界定 K5。
• 结合命题 1、命题 2 和关键定理的界限，推导出 H^q 宽度的统一界限 f(d,q)，其仅依赖于 d 和 q。
• 利用 Schreier 公式以及对 d 个生成元受限 Burnside 群阶的有界 β(d,q)，控制 H^q 的生成元数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限群中，以生成元数 d 和指数 q 为参数，对词性子群 G^q 的宽度建立统一的有界？
• RQ2 在任意有限生成的投影群中，词性子群 G^q 是否为开子群？这一性质是否可由 G^q 在有限商群中的有限宽度推出？
• RQ3 若 G^q 在有限 d 个生成元群中具有有限宽度，是否能推出 G^q 在其投影完备化中为闭子群？
• RQ4 该结果能否推广至非换位子词 w，证明在有限生成的投影群中 w(G) 是开的？

主要发现

• 对任意 d, q ∈ ℕ，存在 f(d,q)，使得在任意 d 个生成元的有限群 G 中，G^q 的每个元素都可表示为至多 f(d,q) 个 q 次幂的乘积。
• 在任意有限生成的投影群 G 中，词性子群 G^q 是闭的，因此也是开的，这是由其在有限商群中具有有限宽度所导致的。
• 该结果意味着词 x^q 对每个 d 都是 d-受限的，即 w(G) 在任意 d 个生成元的投影群中具有有限宽度且为闭子群。
• 界限 f(d,q) 通过受限 Burnside 问题、有限单群的分类以及 G^q 到可接受子群的结构分解相结合构造而成。
• 生成 G^q 所需的 q 次幂数量被 δ(d,q) = d·β(d,q)·f(d,q) 所控制，其中 β(d,q) 是 d 个生成元、指数为 q 的受限 Burnside 群的阶。
• 证明依赖于关键定理（命题 4），该定理将一个可接受的正规子群 K5 表示为换位子与 q 次幂的乘积，其指数仅依赖于 d 和 q。