[论文解读] Powers of a matrix and combinatorial identities

James McLaughlin, B. Sury|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

graph theory and CDMA systems被引用 5

一句话总结

本文推导出一个关于 $k$ 个变量的一般多项式恒等式，使得能够利用其初等对称多项式（如迹、行列式等）以闭式表达 $k \times k$ 矩阵的幂的元素。该方法结合递归矩阵恒等式与对称函数理论，推导出新的组合恒等式，包括广义的Binet公式以及Thue方程的解。

ABSTRACT

In this article we obtain a general polynomial identity in $k$ variables, where $k\geq 2$ is an arbitrary positive integer. We use this identity to give a closed-form expression for the entries of the powers of a $k imes k$ matrix. Finally, we use these results to derive various combinatorial identities.

研究动机与目标

• 将已知的 $k=2$ 情况下的多项式恒等式推广至任意 $k \geq 2$，并利用对称多项式。
• 为任意 $k \times k$ 矩阵 $A$ 的 $A^n$ 元素提供一个以特征值和初等对称函数表示的闭式表达。
• 从矩阵幂公式中推导出新的组合恒等式，扩展如Binet公式等已有结果。
• 将某一类整数值和的零点与三次Thue方程的解联系起来，从而复现Bernstein的结果。

提出的方法

• 推导出一个多元多项式恒等式，将和 $\sum x_1^{r_1}\cdots x_k^{r_k}$ 表示为初等对称多项式 $s_1, \dots, s_k$ 的单项式之和。
• 引入一个包含多项式系数的系数 $c(i_2,\dots,i_k,n)$，用于加权对称幂和的贡献。
• 通过证明 $A^n$ 满足基于 $A$ 的特征多项式的线性递推关系，将该恒等式应用于矩阵幂。
• 利用数学归纳法和递推关系 $a(n) = s_1 a(n-1) - s_2 a(n-2) + \cdots + (-1)^{k-1} s_k a(n-k)$，将 $A^n$ 表示为 $I, A, \dots, A^{k-1}$ 的线性组合。
• 将矩阵 $A$ 特殊化以提取特定元素（例如，$(1,2)$ 元素），并将其与变量 $x,y,z$ 的有理函数相等。
• 利用矩阵幂公式，通过设定矩阵元素的特定值并比较等式两边，推导出恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $k$ 个变量构造一个通用的多项式恒等式，将初等对称和表示为幂和与对称多项式的形式？
• RQ2 如何利用此类恒等式为 $k \times k$ 矩阵 $A$ 的 $A^n$ 元素推导出闭式表达？
• RQ3 当将矩阵幂公式特化到特定矩阵或参数选择时，会涌现出哪些组合恒等式？
• RQ4 能否通过矩阵递推关系和代数数论方法，刻画函数 $f(n) = \sum_j (-1)^j \binom{n-2j}{j}$ 的零点？
• RQ5 矩阵幂的递推结构与三次Thue方程的解之间存在何种联系？

主要发现

• 本文建立了 $\sum_{r_1+\cdots+r_k=n} x_1^{r_1}\cdots x_k^{r_k}$ 的一般恒等式，其表达为初等对称多项式 $s_1, \dots, s_k$ 的和，其中包含多项式系数。
• 对于任意 $k \times k$ 矩阵 $A$，$n$ 次幂 $A^n$ 可表示为 $I, A, \dots, A^{k-1}$ 的线性组合，其系数依赖于特征值的初等对称多项式。
• 递推关系中 $a(n)$ 的系数由显式公式 $a(n) = \sum c(i_2,\dots,i_k,n) s_1^{n-\cdots} (-s_2)^{i_2} \cdots ((-1)^{k-1}s_k)^{i_k}$ 给出，其中 $c$ 为多项式系数。
• 当 $k=3$ 时，该恒等式导出如下有理函数表达式：$\sum_{2i+3j\leq n} (-1)^i \binom{i+j}{j} \binom{n-i-2j}{i+j} (x+y+z)^{n-2i-3j} (xy+yz+zx)^i (xyz)^j$。
• 通过特殊化矩阵 $A$，本文推导出如 $\sum_{2i+3j\leq n} (-1)^i \binom{i+j}{j} \binom{n-i-2j}{i+j} (\theta+t)^{n-2i-3j} (\theta t + d)^i (\theta d)^j = a_n$ 的恒等式，从而得到新的组合恒等式。
• 函数 $f(n) = \sum_j (-1)^j \binom{n-2j}{j}$ 的零点被证明对应于Thue方程 $x^3 + y^3 - x y^2 = 1$ 的解，且仅在 $n=3$ 和 $n=12$ 处有解。