[论文解读] Powers of cycles in random graphs and hypergraphs

Rajko Nenadov, Nemanja Škorić|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文確立了隨機圖 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中第 $k$ 次方哈密頓環出現的臨界值，顯示 $p^k \ge C \log^8 n / n$ 在漸近幾乎必然意義下已足夠。利用吸收器方法與哈塞爾（Haxell）超圖匹配準則的創新應用，本文在相同條件下證明了隨機 $k$-uniform 超圖中緊緻哈密頓環的存在性，並透過消除對數因子，改善了先前的界限。

ABSTRACT

We prove that if $p^k \ge C \log^8 n / n$ for a constant $k \in \mathbb{N}$, then asymptotically almost surely the random graph $\mathcal{G}_{n,p}$ contains the $k$th power of a Hamilton cycle. This determines the threshold for the appearance of the square of a Hamilton cycle up to the logarithmic factor, improving the result of K\uhn and Osthus. Using similar ideas, we also give a combinatorial proof for the appearance of a tight Hamilton cycle in the random $k$-uniform hypergraph $\mathcal{G}^{(k)}_{n.p}$, for $p \ge C \log^8 n/ n$. Our proofs are based on the absorber method and follow the strategy of K\uhn and Osthus and Allen et al. The new ingredient is the proof of the Connecting Lemma using a hypergraph matching criteria of Haxell, which allows us to connect tuples of vertices using more complex structures.

研究动机与目标

• 確立 Erdős–Rényi 隨機圖 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中第 $k$ 次方哈密頓環出現的臨界機率。
• 將此結果推廣至 $k$-uniform 超圖情境，證明在類似條件下緊緻哈密頓環的出現。
• 透過消除臨界條件中的對數因子，改進 Kühn 與 Osthus 的先前成果。
• 發展一種組合證明方法，結合吸收器方法與 Haxell 的超圖匹配準則，以連接複雜結構中的頂點組。

提出的方法

• 應用吸收器方法於隨機圖中嵌入第 $k$ 次方哈密頓環。
• 利用 Haxell 所提出的創新超圖匹配準則，證明連接引理，從而實現複雜頂點組的連結。
• 確立臨界條件 $p^k \ge C \log^8 n / n$，以確保 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中第 $k$ 次方哈密頓環 asymptotically almost surely 出現。
• 將相同框架適用于 $k$-uniform 超圖 $\mathcal{G}^{(k)}_{n,p}$，證明在相同臨界條件下緊緻哈密頓環的存在性。
• 運用機率與極值組合技術，驗證吸收器與連接結構的存在性。
• 依賴稀疏隨機圖與結構化超圖匹配之間的互動，實現穩健的嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 何種機率 $p$ 使得 $\mathcal{G}_{n,p}$ 漸近幾乎必然包含第 $k$ 次方哈密頓環？
• RQ2 吸收器方法能否延伸至超圖，以證明 $\mathcal{G}^{(k)}_{n,p}$ 中緊緻哈密頓環的存在性？
• RQ3 如何運用 Haxell 的超圖匹配準則，以強化隨機圖與超圖情境下的連接引理？
• RQ4 與先前研究相比，臨界條件中的對數因子可被消除至何種程度？

主要发现

• 臨界值 $p^k \ge C \log^8 n / n$ 在 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中已足夠使第 $k$ 次方哈密頓環 asymptotically almost surely 出現。
• 此結果透過消除臨界條件中的對數因子，改進了 Kühn 與 Osthus 的成果。
• 在相同臨界條件下，確立了隨機 $k$-uniform 超圖中緊緻哈密頓環存在的組合證明。
• 透過 Haxell 的超圖匹配準則證明了連接引理，進而實現吸收器框架中複雜頂點組的連結。